La paradoja de Hempel y otros problemas de la inducción.

Publicado: 23 marzo 2009 en Filosofía de la ciencia
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Durante mucho tiempo se pensaba que las leyes científicas se obtenían mediante un tipo de razonamiento o inferencia lógica denominado inducción. La inducción consiste simplemente en inferir una proposición universal a partir de una colección de datos particulares. Por ejemplo, si veo un cuervo de color negro, después otro y otro y otro, llegará un momento en que me parezca razonable establecer la afirmación “Todos los cuervos son negros”.

La inducción puede ser completa o incompleta. Completa sería cuando tenemos en cuenta todos los casos posibles para justificar nuestra aseveración. Por ejemplo, el enunciado “Todos los cuervos son negros” estaría plenamente justificado si hubiéramos registrado todo el Universo y no hubiésemos encontrado ningún cuervo de otro color. El problema reside, como ya vieron Francis Bacon o Stuart Mill, en que habitualmente nos encontramos con multitud de inducciones incompletas. Si yo no he registrado todo el Universo (como suele ocurrir) no tengo razón suficiente para decir que “todos los cuervos son negros”. Quizá en algún lugar existan cuervos blancos o rojos. No obstante, Bacon y Mill sostuvieron que era posible una inducción incompleta suficiente si lo que se predica como común en todos los sucesos constituye una característica dimanada de su misma naturaleza. No obstante, Hume o Comte, no quedaron muy convencidos y redujeron la validez de la inducción a la de un razonamiento meramente probable. Nunca podremos estar seguros al 100% de la veracidad de una afirmación inferida de una inducción incompleta.

Sin embargo, el más crítico con la inducción fue Karl Popper al sostener que el método de la ciencia no puede ser el inductivo ya que el número de experimentos que realicemos siempre será finito y, por lo tanto, la inducción será inevitablemente incompleta. A pesar de que 1.000 experimentos hayan probado que mi afirmación es verdadera, podría siempre suceder un experimento 1.001 que no la verificara. Y como el tiempo es potencialmente infinito hacia adelante, nunca podremos realizar todos los experimentos posibles. Por ello propuso el método deductivo, y no el inductivo, como el auténtico método científico.

Otro caso curioso de problema que presenta la inducción es la famosa paradoja de Hempel propuesta por el filósofo nacionalizado estadounidense Carl Gustav Hempel. La paradoja viene a decir que afirmar que “Todos los cuervos son negros” es lógicamente equivalente a “Todos los objetos no blancos son no cuervos”. Por lo tanto, cada vez que veamos un objeto que no sea negro y que no sea un cuervo estarmos verificando que todos los cuervos son negros. Ahora mismo en mi cuarto hay un montón de objetos no negros que no son cuervos… ¡cada objeto del Universo que no sea negro y no sea un cuervo verifíca nuestra hipótesis!

Hempel decía que eso no era un problema. Efectivamente, cada objeto no negro y no cuervo verificará que todos los cuervos son negros, lo que pasa es que lo hará en un grado muy pequeño, infinitésimo si habláramos de porcentajes. Lo que Hempel quería mostrar con todo esto es que hay que tener en cuenta la totalidad de los objetos del Universo a la hora de comprobar la fiabilidad de nuestras afirmaciones. Sin embargo, sí que hay un gran problema. Si tenemos dos proposiciones autoexcluyentes como “Todos los cuervos son negros” y “Todos los cuervos son blancos” y nos encontramos con el caso empírico de “Un canario amarillo”, ¡resulta que este caso verifica por igual a ambas proposiciones contradictorias!

Otro ejemplo de paradoja surgida de la inducción la podemos realizar con un sencillo mazo de naipes. Supongamos que lanzamos la siguiente hipótesis: “Las cartas de valor n nunca estarán en la posición n”. Barajamos y vamos sacando una a una cada carta, situándolas en orden encima de la mesa. Si, por ejemplo, el dos de tréboles sale la segunda o el cinco de corazones sale la quinta, nuestra hipótesis será refutada. Jugamos con cinco cartas (del uno al cinco de picas) y, vamos a imaginar que salen en el siguiente orden:

1-3, 2-4, 3-2, 4-1, 5…

El tres sale en primer lugar (confirma nuestra hipótesis), el cuatro en el segundo (confirma nuestra hipótesis), el dos en el tercero… Cada uno de los experimentos han ido verificando nuestra hipótesis pero si nos fijamos… ¿qué carta es la que nos queda por sacar? Comprobando las que ya han salido vemos que sólo queda por salir el cinco de picas en la posición cinco… si, por sí solo, cada experimento verificaba nuestra hipótesis, ¡Todos ellos juntos la refutan!

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comentarios
  1. A ver si me sé las soluciones a las paradojas:

    No hay ninguna contradicción en que una observación apoye por igual dos hipótesis contradictorias entre sí. La probabilidad asignada a la proposición “todos los cuervos son amarillos” disminuye (infinitesimalmente, como bien decía Hempel) al encontrar un objeto amarillo que resulta ser un canario. En la misma medida aumentarán las proposiciones alternativas (blanco, negro y alguna otra si la hay).

    El orden de las cartas no es independiente. Introduciendo la probabilidad condicional de sacar las cosas en su orden o en desorden según lo que ya ha salido veremos que, con las primeras cartas la hipótesis va ganando probabilidad y con las últimas va perdiendo. Implícita en la inducción está la independencia de las observaciones. Si no, hay que usar las probabilidades condicionales y la regla de Bayes.

  2. Pues va a ser que no.

    El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos.

    Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla.

    Sería como un diálogo surrealista:

    -Filósofo zumbado 1: Me encantan las manzanas.

    -Filósofo zumbado 2: No, mi jarrón es de porcelana.

    Y todo así.

    Me parece mentira que aún se cite la “paradoja de Hempel” cuando es una sandez de tamaño regio.

  3. Sursum corda:

    Apoya todas esas hipótesis, pero no otras (p.e., todos los cuervos son amarillos). La probabilidad de estas últimas se traslada a las demás. No hay contradicción. La cosa es irrelevante en el sentido de que el cambio es infinitesimal en los ejemplos dados y, de esta manera concuerda (casi) con nuestra intuición. Si proponemos un escenario de laboratorio con, digamos 10 objetos, algunos cuervos, otros no, algunos negros y otros no podríamos ver claramente la no irrelevancia de encontrar un objeto amarillo no cuervo para ver aumentada la probabilidad de la hipótesis “todos los cuervos son negros”. Teorema de Bayes dixit.

  4. José Luis:

    Nada de acuerdo. Lo que afirma una generalización es lo que se sigue de que tal generalización sea verdadera y no falsa.

    “Todos los cuervos son negros” implica que todos los cuervos son negros o una tiza es blanca.

    “Todos los cuervos son amarillos” implica que todos los cuervos son amarillos o una tiza es blanca.

    Por lo tanto, que la tiza sea blanca es irrelevante para dilucidar si los cuervos son negros o amarillos.

    surscrd

  5. La paradoja de Hempel es una advertencia sobre el cuidado que hay que tener a lo hora de realizar inducciones. De algún modo te está diciendo que no mires solamente los casos positivos que verifiquen tu afirmación sino que tengas en cuenta todo lo demás por si hubiere sorpresas. Apunta, por así decirlo, una teoría holística de la inducción.

    Además es, como bien dice José Luis, algo muy a tener en cuenta en casos de inducción completa. Supongamos el caso de que tiramos una moneda al aire. El caso no-cara es muy representativo.

    Y en el caso de inducciones incompletas también lo es, aunque menos. Supongamos que sostenemos la hipótesis de que “El abominable hombre de las nieves existe”. Si yo recorro todo el planeta buscándolo y encuentro millones de objetos “no-hombre de las nieves” al final podré llegar a refutar razonablemente la hipótesis. Además, creo que en eso mismo nos basamos hoy en día para afirmar que el hombre de las nieves o el monstruo del Lago Ness no existen… ¿no? Porque sólo vemos objetos no-hombres de las nieves y no-Nessies.

  6. Santiago:

    El hecho de que se la llame PARADOJA nos dice algo.

    Imaginemos que alguien nos habla de la “paradoja de la manta”. Una manta da calor, pero no a una piedra.

    Eso SÓLO será una paradoja si consideramos que la manta da calor y no que es un aislante térmico y por lo tanto bla bla bla.

    Pues bien, la paradoja de Hempel es SÓLO una paradoja si consideramos que los casos relevantes para afirmar que todos los cuervos son negros son los casos que se siguen de la implicación lógica de “todos los cuervos son negros”. Llamémoslos A

    Pero tenemos todos los casos que se siguen de “no todos los cuervos son negros”. Llamémoslos B.

    Pues bien, lo relevante es A y noB.

    Pongamos “Ha salido cara”. Eso implica que ha salido cara o que mi suegra se llama Teresa.

    Pongamos “Ha salido cruz”. Implica que ha salido cruz o que mi suegra se lama Teresa.

    Lo relevante, obviamente NO es que mi suegra se llame Teresa.

    Digamos que existe el Yeti. Implica que bla bla bla o que mi suegra se llama Teresa. si encontramos que mi suegra se llama Teresa ¿afirmaremos que existe el Yeti? ¿No nos limitaremos a agotar el número de posibilidades de encontrar al bicho en el Himalaya y descartar cosas como que ha salido cara o el nombre de mi suegra?

    En un ensayo clínico se trata de probar que la cocostatina alivia la migraña. Pero puede ser que haya casos de efecto placebo. Los eliminaremos a pesar de que se siguen de que la cocostatina alivie la migraña. Descartamos, por lo tanto, todo lo que se dé sin la presencia de la cocostatina y nos quedaremos con lo que se da en su presencia pro no en su ausencia.

    Un saludo, o dos si son pequeños.

    surscrd

  7. Sursum corda:

    Por supuesto que es mejor estrategia, en general, agotar las posibilidades de buscar al Yeti por el Himalaya que otra cosa. Pero no es de esto de lo que se habla.

    Estás confundiendo la construcción de una tabla de verdad sobre una proposición con el establecimiento de la probabilidad de un evento. Mientras la probabilidad de un evento no sea uno no aparecerá ese evento como uno (cierto, bien deducido, sin margen de duda,…) en una tabla de verdad, esto es lo que argumentas y en eso estaremos de acuerdo. Pero la probabilidad puede aumentar, y esto es lo que pasa con la paradoja y esto es en lo que también deberemos estar de acuerdo en cuanto usemos el Teorema de Bayes.

    Piensa un universo con 10 objetos, de los que 5 sabemos que son cuervos y 5 que son amarillos (pueden, o no, incluir un cuervo). Coge ahora los 5 amarillos, uno tras otro. A medida que veas que no son cuervos aumentará la probabilidad que asignes al evento “todos los cuervos son negros”. Sin embargo no habrás podido deducir la proposición “todos los cuervos son negros”, no habrás podido poner un 1 a su tabla de verdad porque todavía pueden ser de otro color.

    Cambiemos un poco el escenario. Seguimos con 10 objetos, 5 cuervos , 5 objetos negros y 5 amarillos (no sabemos que qué color son los cuervos). Coge otra vez, uno por uno, los 5 objetos amarillos. Si observas que ninguno es un cuervo puedes deducir que la probabilidad del evento “todos los cuervos son negros” es uno y puedes asignar un uno en la tabla de verdad de la proposición “todos los cuervos son negros”. Sin embargo, a medida que coges uno, dos , tres y cuatro objetos amarillos y ves que no son cuervos tendrás que la probabilidad del evento “todos los cuervos son negros”, aunque todavía no puedes poner un uno en su tabla de verdad (ni en su probabilidad) porque te falta comprobar el quinto objeto amarillo (o los cinco objetos cuervo).

    Fíjate además que, en este caso, cuando llevas observados cuatro objetos amarillos, la técnica de examinar el quinto objeto amarillo es menos costosa que examinar los cinco objetos cuervo para dilucidar la veracidad de la hipótesis (de ahí el “en general” del primer párrafo).

  8. Perdón, el final del cuarto párrafo debe decir

    Sin embargo, a medida que coges uno, dos , tres y cuatro objetos amarillos y ves que no son cuervos tendrás que la probabilidad del evento “todos los cuervos son negros” AUMENTA, aunque todavía no puedes poner un uno en su tabla de verdad (ni en su probabilidad) porque te falta comprobar el quinto objeto amarillo (o los cinco objetos cuervo).

  9. José Luis:

    En tus experimentos sabemos ya demasiadas cosas y eso modifica lo que nos queda por saber.

    Tenemos tu primer universo. Y encuentro un objeto amarillo, que es un limón. Evidentemente YA queda descartado que todos los cuervos sean amarillos. Pero no que algún cuervo sea amarillo, por lo que no influye para decir que todos los cuervos sean negros. Después encontramos un patito de goma, un chaleco reflectante, un casco de obra y una toalla, todos amarillos. Seguimos sin saber si todos los cuervos son negros. Podemos saber que no todos los cuervos son amarillos pues en tus planteamientos afirmabas que sólo había cinco objetos amarillos y los hemos agotado. Luego “cinco cuervos no son amarillos” tiene una probabiidad 1. Y también la tiene “al menos cinco cuervos no son amarillos” .

    Pero curiosamente estamos hablando de cuervos, que es de lo que se debería hablar desde el principio y no de tizas blancas. Y si cinco cuervos o al menos cinco NO SON amarillos, la probabilidad de que sean negros es mayor si el número de colores es limitado. Hemos contado cuervos y esos son hechos relevantes. Pero no si contamos margaritas blancas, que es lo que se interpreta en la paradoja.

    Tú, al poner las condiciones del experimento en que hay cinco cuervos y cinco objetos amarillos, ya das una información acerca de los sucesos complementarios. Cada limón es un cuervo que no puede ser amarillo.

  10. Debería decir

    Cada limón equivale a que un cuervo no puede ser amarillo.

  11. Vamos a ver Sursum.

    Claro que si yo estoy haciendo un experimento me centraré en los casos más relevantes para su verificación. En el caso de tirar una moneda, es evidente que que mi suegra se llame Teresa no es relevante. El mismo Hempel nos lo dice. El hecho que que mi suegra se llame Teresa confirmaría EN GRADO INFINITESIMAL tanto que salga cara como que salga cruz. En este ejemplo concreto es evidente que es absurdo buscar casos no-cara o no-cruz como “Mi abuela se llama Rosita” o “El perro es verde”… Lo suyo es tirar la moneda y ver lo que sale.

    Pero, como de nuevo José Luis expone, en otro tipo de casos sí que es posible la estrategia de buscar casos negativos. El ejemplo que te he puesto acerca del Yeti es claro. El hecho de que mi suegra se llame Teresa multiplicado millones de veces SI ES RELEVANTE para refutar la existencia del Yeti. Cuando vas al Himalaya a buscarlo, compruebas que allí todos los objetos que existen son no-Yetis (y mira que en el Himalaya debe de haber millones de objetos). Es más, precisamente ES LA ÚNICA ESTRATEGIA para verificar la no existencia de algo pues… ¡¡¡Sería posible que mi suegra Teresa fuera el Yeti!!!

    Un saludo

  12. Santiago:

    Del mismo modo, es irrelevante para saber si todos los cuervos son negros que encontremos una tiza blanca, un trébol de cuatro hojas o una carta manuscrita de Platón.

    De la tabla de verdad de p implica q (lo siento pero no sé la manera de poner símbolos lógicos o de algebra de Boole) se sigue que no es posible que se de p y no q, pero sí cualquier otra cosa.

    De todos los cuervos son negros se sigue que un cuervo es negro o que una tiza es blanca o que mi suegra se llame Teresa, pero es imposible que un cuervo no sea negro.

    Pero, insisto, de todos los cuervos son verdes también se sigue que una tiza es blanca o mi suegra se llama Teresa, por lo que econtrar una tiza blanca o que mi suegra se llama Teresa no confirma ni infinitesimalmente que los cuervos sean negros. Es irrelevante porque es lo que se daría independientemente de si los cuervos son negros o a rayas blancas y verdes.

    Cuando buscamos al Yeti sabemos más o menos qué deberíamos encontrar pues toda afirmación sin un sentido es un absurdo. Esperamos algo como un gorila blanco en la nieve del Himalaya, sin muchas más concreciones. Así qe iremos al Himalaya y trataremos de ver huellas como de gorila, algo blanco humanoide entre la ventisca o una piel blanca que no sea manifiestamente de un Yak. Pero si encntramos una tiza blanca nio diremos ¡mira, una prueba a favor de la existencia del Yeti pues de p implica q se sigue bla bla bla!

    En un experimento tratamos de encontrar los hechos predichos por la teoría o que no se dan. El resto, lo que se daría o no si al teoría es falsa NO CUENTA. No es información, es RUIDO DE FONDO.

    surscrd

  13. Sí que encontrar una tiza blanca confirma en grado infinitesimal que los cuervos son negros. Insisto yo también.

    Cuando en el Himalaya miro con mis prismáticos un enorme paisaje de cientos de hectáreas y compruebo que allí no está el Yeti estaré haciendo una síntesis de mil proposiciones tales como:

    “Árbol 1 no es el Yeti”
    “Árbol 2 no es el Yeti”
    “Piedra 243 no es el Yeti”
    “Sherpa mongol 22 no es el Yeti”
    “Riachuelo 4 no es el Yeti”
    “Trebol de 4 hojas no es el yeti”
    Etc, etc, etc, etc, etc…

    Después encontramos unas huellas que nos llevan a una cueva… pero cuando entramos en la cueva vemos que el Yeti no está allí y en su supuesto lugar sólo hay una tiza blanca. Entonces afirmamos lícitamente ¡Mira, otra “pequeñísima” prueba en contra de la existencia del Yeti!

    Cada objeto que existe que no es el Yeti confirma “un poquito más” que el Yeti no existe. Sólo en el caso de que el Universo tuviera infinitos objetos, el encontrar objetos no-yetis no serviría para confirmar nada.

  14. Bien.

    Pues supongamos que tras hacer el recuento de árboles, piedras y riachuelos y dirigirnos a la cueva nos encontramos ¿con qué mis queridos niños? ¡con el Yeti con una tiza blanca!

    Pero la tiza blanca probaba la no existencia del Yeti. Houston , tenemos un problema.

    ¿No será que la tiza blanca no prueba nada más que la existencia de al menos una tiza blanca?

  15. Supongamos que intento probar que puedo atraer la lluvia.

    Canto -mal, por supuesto- días y noches hasta que un día llueve.

    ¿Lo ven? -digo- ¡Soy capaz de atraer la lluvia!

    Pero me responden -desagradecidos- que allí suele llover se cante o no.

  16. Sursum Corda:

    Insistes en mezclar probabilidades que aumentan o disminuyen con tablas de verdad y con relevancias. Los experimentos mentales que te he propuesto son muy ilustrativos de que es perfectamente posible (de hecho es una necesidad probabilística) que encontrar una tiza blanca aumente la probabilidad del evento de los cuervos negros.

    Esa es la paradoja. Nuestra intuición nos dice que no, y la tabla de verdad no se ve alterada. Pero la probabilidad sí y, en mi ejemplo, mucho porque lo puse para ver las cosas claras. En la realidad, con menos estructura informacional aumentará de manera infinitesimal. Eso es una buena concordancia con la intuición, con la relevancia y con la metodología de búsqueda que nos parece sensata. Tu quieres que no sea infinitesimal, y quieres que sea cero, pero eso no puede ser. Fíjate que si siempre es cero y no aumenta, cuando acabes con los muchísimos objetos que en el mundo son y vayas quedando con el universo parecido al de mi ejemplo tendrás que dar un salto lógico.

    Dices:

    “Pues supongamos que tras hacer el recuento de árboles, piedras y riachuelos y dirigirnos a la cueva nos encontramos ¿con qué mis queridos niños? ¡con el Yeti con una tiza blanca!

    Pero la tiza blanca probaba la no existencia del Yeti. Houston , tenemos un problema.”

    Pero nadie está diciendo que la tiza blanca pruebe nada. Sólo que aumenta o disminuye la probabilidad de ciertos eventos. No había siquiera un problema que resolver. Houston, business as usual.

    Desde luego, si llueve con más probabilidad cuando tú cantas que cuando no, podemos empezar a hablar de tus poderes (pero antes habrá que ver que no te mirabas el parte meteorológico). En cualquier caso, no era este el tema.

  17. José Luis:

    La idea era que en el ejemplo anterior de Santiago, la tiza blanca era una prueba -que añadía una probabilidad infinitesimal si quieres- contra la existencia del Yeti.

    Yo digo que un Yeti con una tiza blanca incluye la misma tiza blanca y que ésta no disminuye la probabilidad de la existencia del Yeti porque se da con Yeti o sin Yeti. Salvo que por alguna ley verificada se deduzca que la existencia de una tiza blanca disminuye la probabilidad de existencia de un Yeti. Sin esa prueba la tiza no es relevante.

    En tu ejemplo, el hecho de que hayas limitado el número de objetos amarillos a cinco en un universo de diez objetos convierte a la aparición de cada objeto amarillo no cuervo en un caso de cuervo amarillo posible menos. Hay una ecuación que suma no cuervo amarillo más cuervo amarillos = cinco.

    Sin esa ecuación el limón, el patito de goma etcétera NO DICEN NADA acerca de cuervos negros. Y la tiza blanca en el mundo real no dice nada de los cuervos negros.

    Es tan probable la existencia de una tiza blanca en un mundo donde todos los cuervos son negros como en uno donde sean amarillo limón. Por lo tanto cada tiza blanca es MUDA inductivamente.

    Si llueve con MÁS probabilidad si yo canto demostraré que tengo poderes incluso sin ninguna ley natural conocida que pruebe cómo lo hago. Pero eso es precisamente porque la probabilidad con canto es mayor que la probabilidad sin canto -en el ejemplo- y mi influencia sobre la pluviosidad se limitará a INCREMENTAR la pluviosidad en tanto por uno. Lo que ya lloviera de promedio NO DICE NADA de mi poder.

    Es lo que sucede en un mundo donde la existencia de tizas blancas y la frecuencia con la que aparecen no varía si hay cuervos negros o de colorines. En ese caso, cada tiza blanca será como cada gol de Raúl: irrelevante para la cuestión de los cuervos.

    En tu ejemplo fuerzas a que las probabilidades de aparición de cuervos amarillos o no negros y la de objetos amarillos en general esté relacionada por una ecuación y en ese sentido la presencia de un objeto amarillo no cuervo cambia la situación.

    Pero la paradoja consiste precisamente en decir que sucesos aparentemente irrelevantes son relevantes para una inducción que tenga en cuenta el número de casos que supuestamente confirman. Sabemos, sin embargo, que los casos que supuestamente confirman no son todos idénticos, como en el caso de que llueva porque es primavera y no porque yo canto. Por eso en cualquier experimento se usa un grupo control en el que la presencia de cuervos o cantantes es nula y se observa la frecuencia de tizas blancas o lluvias. Después, si las frecuencias varían en presencia de cuervos o cantantes, la aparición de tizas o lluvias se convierte en indicio y prueba. Si no, NO.

  18. Ejemplo 1:

    Encontramos el yeti con una tiza blanca cuando la tiza blanca era una prueba “pequeñita” en contra de la existencia del yeti.

    ¿Houston dónde está el problema? La tiza no probaba definitivamente que el yeti no existía, sólo era una “pequeñita” evidencia en contra. La evidencia que prueba al 100% la existencia del yeti es la misma aparición del yeti. Ergo el yeti existe.

    Ejemplo 2:

    Cantas mal y lo haces todos los días hasta que llueve. Entonces afirmas haber probado que cantar mal produce lluvia.

    Aquí depende de cuántas veces hayas cantado y cuántas veces haya llovido. Cada día que cantes y llueva subirá la probabilidad de que tu hipótesis sea cierta. El problema estará en que si cantas 1.000 días y sólo llueve uno, la probabilidad de que tu hipótesis sea cierta sera casi nula (ojo, no cero, casi nula. Con que llueva una vez cuando cantes tendrás una mínima posibilidad de estar en lo cierto).

    En este ejemplo confundes un ínfimo grado de probabilidad con confirmación. Para confirmar con que cada vez que cantas llueve debería ocurrir que el 100% de las veces que cantaras lloviera (o como mínimo, un porcentaje significativo).

  19. Santiago:

    Insisto. si en un mundo con Yetis hay las mismas tizas blancas que sin Yetis es la misma situación que un mundo en el que cantar haga llover lo mismo que llovía sin cantar.

    De eso deduciremos que cantar no influye en la lluvia ni los Yetis en las tizas.

    Pero ver tizas o lluvia tampoco servirá de indicio para saber si hay Yetis o si alguien ha cantado mal.

    La presencia de muchas tizas en el Himalaya en un mundo en el que los Yetis fabrican tizas sería un indicio de que hay Yetis en el Himalaya. Pero si la probabilidad de encontrar una tiza condicionada a encontrar un Yeti es la misma que condicionada a no encontrar un Yeti, entonces la probabilidad de encontrar un Yeti condicionada a encontrar una tiza es la misma que la de encontrar un Yeti condicionada a no encontrar una tiza.

  20. Sursum Corda:

    Con la lógica hacemos las matemáticas y, con ellas, la Teoría de la Probabilidad. Pretender hablar de probabilidades quedándose uno en la lógica es ir mal equipado por el mundo. Es un error de muchos filósofos y lógicos. Hay más paradojas de este estilo que se eternizan en debates entre lógicos y filósofos, pero que los matemáticos y estadísticos han resuelto hace tiempo. Este es uno de esos casos.

    Reconoces que, en el mundo de 10 objetos, la probabilidad de los eventos están ligadas por una (serán varias) ecuaciones. Pero lo mismo pasa si los objetos son 10^80 (10 elevado a 80, el número de partículas en el Universo conocido), o si pueden ser varios números, cada uno con su probabilidad y si en lugar de tener la información de mi ejemplo tienes cualquier otra. Es decir, lo que decías que tenía que ocurrir para conceder el argumento ocurre.

  21. José Luis:

    Reconozco que en un mundo de diez objetos en los que las probabilidades están relacionadas porque tú has dicho que, por hipótesis, están relacionadas, las probabilidades están relacionadas.

    En un mundo de 10^80 objetos en el que tú establezcas la hipótesis, o la pruebas, de que las probabilidades de algo está vinculadas a las de otra cosa, se podrá argumentar. Si no, NO.

    Pero, hete aquí, querido amigo, que hemos dicho que las tizas existen en la misma proporción haya cuervos negros, Yetis o suegras llamadas Teresa. Y como la probabilidad de un suceso A no está relacionada con la de otro B, la del otro B no está relacionada con el uno A.

    Dime a ver cómo los matemáticos deducen la probabilidad de un suceso B condicionado a A como distinta de condicionada a noA, si la de A a B es la misma que la de A a noB.

    Ejemplo 1:

    Si la probabilidad de ver un Volkswagen en Alemania es la misma que la de ver uno en España, demostrar si la probabilidad de estar en Alemania dado que vemos un VW es mayor, menor o igual que la de estar en España.

    Ejemplo 2:

    Si la probabilidad de ver un camello en el Sahara es mayor que la de ver uno en España, demostrar si la probabilidad de estar en España dado que vemos un camello es mayor, menor o igual que la de estar en el Sahara.

    Un saludo.

  22. Sursum Corda:

    Justamente lo que te digo es que sí van a estar relacionadas. Es cierto que puedes hacer una hipótesis de manera que, antes de hacer nada, las probabilidades sean independientes, pero a medida que hagas observaciones y vayas eliminando elementos de la muestra, dejan de serlo (en general, porque puede ocurrir que tras varias extracciones vuelvan a ser independientes, pero no si las extracciones son todas de objetos no negros que no son cuervos).

    Las tizas que están en la misma proporción que los Yeti dejan de estarlo en cuanto sacas una tiza.

    En resumidas cuentas, cuando dices:

    “En un mundo de 10^80 objetos en el que tú establezcas la hipótesis, o la pruebas, de que las probabilidades de algo está vinculadas a las de otra cosa, se podrá argumentar. Si no, NO.”

    La respuesta es que, para cualquier hipótesis que hagas, las probabilidades van a estar relacionadas en cuanto te pongas a hacer observaciones.

  23. José Luis:

    Es decir: que en tu mundo la probabilidad de encontrar una tiza está relacionada con todo; con, por ejemplo que El Real Madrid gane en su próximo partido de la Quiniela.

    Pero supongamos que me dices que no -lo cual me entristece porque podríamos forrarnos los dos con la quiniela- y que la probabilidad de encontrar una tiza es la misma gane el Madrid o pierda. Entonces, para determinar si el Madrid va a ganar ¿deberemos tener en cuenta los hallazgos de tizas y estaremos paradojeando al estilo Hempel?

  24. Sursum Corda:

    Si no lo está, lo estará. Pero aclaremos un par de cosas antes de ser esclavos de nuestras palabras. Primero hay que definir los eventos en que queremos dividir el universo, y para esto hay un par de reglas: deben ser excluyentes entre sí y, entre todos, deben abarcar el universo (p.e., mañana lloverá y mañana no lloverá está bien; pero mañana lloverá y mañana hará frío está mal). Una vez definidos estos eventos, podremos hablar de las probabilidades de ocurrencia de esos eventos y de las probabilidades de distintos conjuntos de eventos. A partir de ahí podremos calcular probabilidades condicionales de ocurrencia de un evento (o de un conjunto de ellos) si sabemos que ocurre un conjunto u otro o si hemos eliminado ya como posible algún conjunto.

    Lo de la tiza y el Real Madrid será un buen ejemplo si son eventos (o conjuntos de eventos) bien definidos de esta manera. Si, en principio, en tus probabilidades de ocurrencia de estos eventos te parecen independientes, en cuanto encuentres una tiza, habrás eliminado un evento que no influye en la suerte del Real Madrid y te quedarán, en proporción (por así decirlo) más eventos que sí influyen.

    Ni que decir tiene que, a todos los efectos prácticos, ni somos capaces de construir el modelo con probabilidades (la hipótesis que sea) para todo, ni, si lo hiciéramos, tendría nada de esto consecuencias prácticas dado que los cambios son pequeñísimos. Pero la paradoja no iba de estas limitaciones de los mortales.

  25. Santiago:

    Perdona que siempre me dirija a Sursum Corda. He leído tus comentarios con atención y los veo perfectamente convincentes y en la línea de mi argumentación.

  26. Santiago:

    Digo algo similar si respondo a José Luis. Esto sería una especie de parasitación del blog si charláramos entre nosotros, pero creo que la conversación a tres o más bandas va bien.

    Gracias por tu amabilidad al dar espacio a este debate en tu blog.

  27. José Luis:

    Bien lo de los sucesos que sean complementarios y agoten el universo de sucesos, si y… ¡ah sí! estábamos hablando de la paradoja de Hempel, que yo considero una salida de pata de banco filosófica y no me has respondido a un argumento que yo dejaba por ahí arriba.

    Si la probabilidad de ver un VW o un camello, igual o distinta en dos países, permite conjeturar en qué país se encuentra uno -y de paso el VW y el camello- qué sucede cuando la probabilidad del camello o el coche es idéntica para conjeturar el país.

    Me temo que cuando me respondas me vas a decir algo como que si sabemos que es más probable encontrar un camello en el Sahara que en España, la probabilidad de estar en el Sahara condicionada a que hemos visto un camello es mayor que la de que estamos en España.

    Pero que si es igual de probable ver un VW en España y en Alemania, de ver un VW la probabilidad de estar en España dado SÓLO el VW es la misma que la de estar en Alemania.

    Claro, si además de ver le camello también vemos la Sagrada Familia cuando vemos el camello, la cosa cambia y diríamos que es más probable que estemos en España, salvo si lo dice el señor Carod Rovira, que tiene opiniones peculiares sobre el tema.

    Pues bien, si el hecho de que todos los cuervos sean negros da la misma probabilidad a la existencia de tizas blancas que el que todos los cuervos sean amarillos, de ver una tiza blanca no se sigue nada de apoyo inductivo a uno o a otro diferentemente sino que nos deja tal cual pascual.

    Vamos viajando tú y yo por China y lo único que hemos aprendido de chino es SI, NO y ¿HA COMIDO BIEN?, todo eso, naturalmente, en chino. De pronto encontramos a un lugareño y le decimos “¿HA COMIDO BIEN?” a lo que él responde, “SI”, todo eso, naturalmente, en chino. Entonces yo te digo “ya ves José Luis, como te decía vamos bien para Pekín.

    Bueno, quizá no porque pienso que el que haya comido bien el chino es irrelevante para la dirección para Pekín.

    surscrd

  28. Sursum Corda:

    Recordé en el comentario anterior las condiciones que necesitamos, en general, en probabilidad por si acaso en algún momento aparecían en la discusión. Lo que veo es que hay que recordar las condiciones de la paradoja antes de que te me vayas más lejos (ya vas por Pekín):

    -Proposición P = “Todos los cuervos son negros”
    -Proposición Q equivalente = “Todo lo que no es negro no es cuervo”
    -Validación de P: Busca objetos cuervos observa si son negros.
    -Validación de Q: Busca objetos no negros y observa si son cuervos

    Recuerda que la observación de objetos no negros sirve para la validación de Q y, por tanto de P porque los objetos cuervo y los objetos no negros están ligados en las proposiciones. En el ejemplo de la tiza y el Real Madrid te estaba concediendo que esta ligazón estaría entre estos objetos (aunque entendía que no se hacía explícita por brevedad). Si la hay se sigue todo lo que he dicho. Si no la hay tendrás razón, pero no estaremos hablando de la paradoja. Lo mismo para la comida de los chinos del último ejemplo. Hablemos, pues, de la paradoja, no de otras cosas.

    Hay todavía una observación pertinente. Está asumido implícitamente en el enunciado de la paradoja que, en la validación de las hipótesis, la selección de los cuervos o de los objetos no negros ha de ser aleatoria: es así en la validación de P, para la que no hay problema y también debe serlo en la de Q.

    Lo vemos más fácil si en lugar de “Todos los cuervos son negros” ponemos “El 90% de los cuervos son negros”. Si sabes que en cierto lugar los cuervos son blancos. Elegir cuervos de ahí no te añade más información y, por tanto, no vas validando o refutando la hipótesis más allá de lo que ya sabías. Lo mismo en la elección de los objetos no negros. Si ya sabes que no son cuervos, tampoco te vale.

    Fíjate que es así como lo he expresado siempre: busca objetos no negros y, si no son cuervos, la hipótesis aumenta su validez. Más precisamente, en mi primer comentario dije (y cito textualmente): “… al encontrar un objeto amarillo que resulta ser un canario …”.

    Es posible que haya habido confusión en este punto.

  29. José Luis:

    Tenía la impresión -de hecho siempre la he tenido con otras discusiones y otras personas- de que mientras tú mismo no dieras el paso lógico yo no te iba a hacerlo dar. Pero creo que lo has dado.

    Leamos tu párrafo y señalaré en negrita

    Lo vemos más fácil si en lugar de “Todos los cuervos son negros” ponemos “El 90% de los cuervos son negros”. Si sabes que en cierto lugar los cuervos son blancos. Elegir cuervos de ahí no te añade más información y, por tanto, no vas validando o refutando la hipótesis más allá de lo que ya sabías. Lo mismo en la elección de los objetos no negros. Si ya sabes que no son cuervos, tampoco te vale.

    Pues bien, gracias. Ya hemos terminado.

    Y si buscar tizas no vale, porque ya sé que no son cuervos, encontrar tizas y ver que son blancas no vale. No valida nada y a cada tiza que encuentre la tiro al vertedero y me pongo a buscar cuervos. Tú me dices que estás buscando objetos no negros, qe primero ves que son no negras y que sólo después te das cuenta de que no son cuervos.

    Tu planteamiento sirve en casos como éste

    “Dios hace curaciones milagrosas”

    “todas las curaciones no milagrosas no son obras de Dios”

    Vamos a Lourdes o al servicio de curaciones sobrenaturales del Hospital de la Santa Fe (¿nadie se ha preguntado por qué no existe ese servicio en hospitales dirigidos por religiosos?) y vemos que todas las curaciones lo son por causas naturales o médicas. Luego los milagros de Dios son poco probables o nada probables.

    Pero insisto en que los ejemplos suelen ser una distracción más frecuentemente que una aclaración.

    “Todos los cuervos son negros” divide el Universo en sucesos. Un conjunto de ellos es del tipo: los limones son amarillos, las tizas son blancas y me gusta conducir.

    Pues bien, tomemos la contraria “No todos los cuervos son negros”. El conjunto de sucesos que se sigue de ella incluye algunos diferentes de los primeros y otros idénticos tales como los limones son amarillos, las tizas son blancas y me gusta conducir.

    Como los del segundo tipo son idénticos en ambos casos no aportan información y nos olvidamos de los limones, las tizas y de mi coche.

    El ejemplo de la lluvia por mi canto te demostraba que si yo no consigo con mi canto un efecto diferente al que se ve sin canto diremos que mi canto no tiene efecto. Vemos lo que se comporta igual y se lo sustraemos al conjunto de lo que vemos bajo mi horrenda actuación.

    Si el color de los cuervos tiene que ver con el color de los cuervos es inútil que nos fijemos en las tizas. Sólo cuando algo de las tizas tiene que ver con algo de los cuervos podríamos usar los datos de las tizas para lo de los cuervos.

    Ahora sabemos que el color de algo no es una cualidad aparte e irreducible sino que tiene que ver con la estructura química de la superficie del objeto. Pues bien, si sabemos algo de la estructura química de las tizas quizá nos sirva para descartar, por ejemplo, que el grafito sea blanco. Así que “todo grafito es negro” puede verse apoyado por “las tizas son blancas”, que es un caso similar a cuando tú habías relacionado la cantidad de objetos amarillos con la de cuervos amarillos por una ecuación.

    En la investigación experimental, pura o aplicada, siempre se usan grupos control para descartar lo que con prueba o sin prueba daría un mismo valor. Lo que se prueba debe mostrar un efecto estadísticamente significativo en más o en menos que el control. Y las tizas, José Luis, están en el grupo control

  30. Quizá lo explicaría mejor, o más breve, si reducimos la aplicación de la paradoja de Hempel a quien cree que todo suceso coherente con una afirmación es consecuencia de la afirmación y la confirma.

    Por eso los sucesos que vemos se dividen entre lo que se siguen de la afirmación, los contrarios a la afirmación y los indiferentes.

    La penicilina cura las amigdalitis en mayor proporción que no dar nada.

    La penicilina no cura las amigdalitis en mayor proporción que no dar nada.

    Hay curaciones de amigdalitis sin dar nada.

  31. No entiendo muy bien lo del paso lógico. Sólo hago explícitos los detalles del uso de la regla de Bayes, que es la base de la paradoja. Si los hubieras puesto encima de la mesa los habría aceptado sin más. Entiendo que aceptas que con estos detalles la paradoja se cumple. ¿No?

    Empiezo por el final: las tizas están en el grupo de control si ya has establecido que no tienen nada que ver y las has podido apartar.

    La paradoja no te recomienda que no tires las tizas y demás cosas que sabes que no son cuervos. Claro que esa es buena estrategia. Lo que dice es que si buscas cosas no negras y no son cuervos, paradójicamente, estás aumentando la probabilidad de la hipótesis (aunque infinitesimalmente).

    Ahora dices que esto no vale para nada. Bueno, seguramente casi nunca valga para nada si hablamos de cuervos y tizas. Pero no es cierto que solo valga para los casos que dices. Ciertamente es difícil ver de un objeto su color sin apreciar si es cuervo o tiza, pero es posible que otro tipo de atributos sean observables sin ser observados los demás en algunos casos.

    Se me ocurre que puedes quedarte con partículas que han mostrado un cierto comportamiento en un experimento. Puede ser perfectamente posible observar un comportamiento o característica, pero no otros, ni observar la partícula que es (el equivalente a observar el color sin saber si es una tiza o un cuervo). Lo mismo puede ocurrir para enfermedades. Sería posible observar un síntoma sin saber a qué enfermedad está asociada hasta hacer pruebas posteriores. Si el universo relevante es pequeño, según cómo se hayan conducido las observaciones puede no ser tontería seguir la estrategia de la paradoja (como en el ejemplo de los 10 objetos con 5 cuervos y 5 objetos negros).

    La paradoja de Hempel dice lo que dice y es paradoja en el sentido de que, siendo cierta, no lo parece (como la de los gemelos de Einstein) no en el sentido de que sea falsa y a ver si sabes dónde está el fallo (como las de Zenón de Elea). Creo que hemos establecido esto. ¿Estás de acuerdo?

  32. José Luis.

    Lo paradójico se da al tomar como dato a favor de una afirmación p todo dato q tal que p->q

    “Todos los cuervos son negros” -> “el cuervo C1235 es negro”

    “Todos los cuervos son negros” -> “mi sastre es rico”

    “Todos los cuervos son negros” -> “Caperucita se comió al lobo”

    Y ya te digo que no. Que los datos que importan son aquéllos que se siguen de p menos los que se siguen de nop.

    De nop se sigue

    “No todos los cuervos son negros” -> “el cuervo C1235 es negro”

    “No todos los cuervos son negros” -> “el cuervo C3227 es amarillo”

    “No todos los cuervos son negros” -> “mi sastre es rico”

    “No todos los cuervos son negros” -> “Caperucita se comió al lobo”

    ¿Qué será relevante para saber si p es verdad?

    Obviamente ni que mi sastre es rico ni que Caperucita se comiera al lobo ayudan en nada pues son coherentes con p y nop y no deciden.

    ¿Y “el cuervo C1235 es negro”?

    Pues tampoco es relevante porque se da igual si todos o algunos o casi todos los cuervos son negros.

    Lo decisivo entre p y nop es “el cuervo C3227 es amarillo”. Falsacionismo si se trata de elementos cualitativos.

    Si es verdad “el cuervo C3227 es amarillo” es falso que todos son negros.

    ¿Pero y de “No todos…”?

    Pues será verdadera si “el cuervo C3227 es amarillo”, que es incompatible con “Todos…”. El resto la dejan igual. Es indiferente que encontremos un cuervo negro, dos cuervos negros, que mi sastre es rico o que Caperucita se comiera al lobo.

    Pensemos no en hechos simples sino en probabilidades. Usemos el concepto de probabilidad condicionada y asunto resuelto.

    ¿Cual es la probabilidad de que alguien deje de tener dolor de cabeza al cabo de una hora tomando aspirina?

    La probabilidad de dejar de tener dolor de cabeza acduh dado que se ha tomado aspirina, que es la probabilidad de dejar de tener dolor de cabeza acduh menos la probabilidad de tener dolor de cabeza acduh SI NO se toma aspirina.

    Espero haberlo escrito bien porque son temas que me ayudáis a resucitar entre las neuronas. Hace unos cuantos años ya me dio por la filosofía de la ciencia, luego por la relación de política y evolución y casi siempre por vicios inocentes. Así que debo de tener oxidado más de un tornillo.

    Un saludo.

  33. Si creéis que es algo interesante en la forma de exponerlo (porque el contenido es más viejo que la tos) agradecería un poco de reconocimiento virtual.

  34. Hasta ahora creía que te seguía (ibas por Pekín). En mi comentario anterior, y dado que habíamos detectado algunos detalles de la paradoja como fuente de confusión (o salto lógico, según tú), me propuse volver al origen de todo esto, para ver si con estos detalles estábamos de acuerdo en que la paradoja es cierta. En tu nuevo mensaje no sé muy bien qué me respondes. Te pediría que nos ciñéramos a la paradoja.

    Resumo:

    “Todos objeto cuervo es un objeto negro” es equivalente a “Todo objeto no negro es un objeto no cuervo”.

    La manera de contrastar inductivamente la primera proposición es coger objetos cuervos al azar (de los que solo sabemos eso, que son cuervos, es decir, no vale saber ningún detalle relacionado con ser o no negro) y mirar el color. La probabilidad de que la proposición sea cierta aumenta con el número de casos favorables que encontremos. La probabilidad se hace uno si miramos todos los cuervos y cumplen la propiedad de ser negros. Hasta aquí la inducción intuitivamente normal, que estamos de acuerdo en que se cumple. La aleatoriedad de la búsqueda es necesaria. Si hay N cuervos negros y M cuervos no negros, pero siempre nos dan uno que se sabe que es negro (o nos lo dan con probabilidad mayor que N dividido entre N+M, que es la que toca si se eligen de manera aleatoria) no estaríamos aumentando la probabilidad de la proposición.

    La manera de contrastar inductivamente la segunda proposición es coger objetos no negros al azar (de los que solo sabemos eso, que son no negros, es decir, no vale saber ningún detalle relacionado con ser o no cuervo) y mirar si son no cuervos. La probabilidad de que la proposición sea cierta aumenta con el número de casos favorables que encontremos. La probabilidad se hace uno si miramos todos los objetos no negros y cumplen la propiedad de ser no cuervos. Hasta aquí la inducción paradójica, que vemos que también se cumple y, por tanto, la paradoja de Hempel es cierta. La aleatoriedad de la búsqueda es necesaria. Si hay N objetos no negros no cuervos y M objetos no negros cuervos, pero siempre nos dan uno que se sabe que es no cuervo (o nos lo dan con probabilidad mayor que N dividido entre N+M, que es la que toca si se eligen de manera aleatoria) no estaríamos aumentando la probabilidad de la proposición.

    Lo anterior no implica que la velocidad de convergencia a uno de la probabilidad (en caso de que sea cierta la proposición) sea igual de las dos maneras. La segunda será especialmente lenta para casi cualquier ejemplo. Y será más lenta cuanta mayor sea la proporción de objetos no cuervo sobre cuervos y de objetos no negros sobre negros. No siempre será más lenta: si sólo hay un objeto no negro en el universo, basta con cogerlo para validar o no la proposición.

    Por favor, para entendernos. ¿Puedes indicarme en los párrafos anteriores en qué momento estoy cometiendo un error? Puede ser desde un inferencia mal llevada a una interpretación de los términos de la paradoja que entiendas puede no ser así. Mi postura es: Los párrafos anteriores son consecuencia del Teorema de Bayes y no debería haber discusión sobre su validez (preséntaselos a cualquier matemático que sepa un poco de probabilidad y te aseguro que estará de acuerdo). Mi interpretación de la paradoja contiene ese elemento de aleatoriedad en la búsqueda porque está debe estar para que el argumento inductivo tenga sentido (el intuitivo y el paradójico).

    En los ejemplos que me pones, sobre todo de los últimos, no sé en qué estás pensando. Pónmelos, porfa, en el modelo de la paradoja. Si me los sacas de ahí estaremos hablando de otra cosa, que no te digo no sea interesante, pero resolvamos primero lo que nos ocupaba desde el principio.

  35. José Luis.

    Para Hempel no era una paradoja real ni lo es para ti. Ya has dicho que las de Zenón de Elea eran paradojas porque Aquiles SI que rebasa a la tortuga, pero que la paradoja de Hempel explica cómo funciona una inducción de verdad teniendo en cuenta el teorema de Bayes.

    Santiago ha escrito esto

    “Sin embargo, sí que hay un gran problema. Si tenemos dos proposiciones autoexcluyentes como “Todos los cuervos son negros” y “Todos los cuervos son blancos” y nos encontramos con el caso empírico de “Un canario amarillo”, ¡resulta que este caso verifica por igual a ambas proposiciones contradictorias!”

    Yo te he mencionado la paradoja del falso positivo que se trata de resolver con la probabilidad condicionada.

    El canario amarillo apoya las dos afirmaciones contradictorias, luego ES IRRELEVANTE.

    Con la formación de grupos control se trata de eliminar los falsos positivos que apoyarían tanto la hipótesis como la contraria.

    ¿Tú harías u grupo control para eliminar las tizas o no?

    Es que me da que no cuando dices que el recuento de objetos no negros es viable para la inducción de cuervos negros. Pero luego dices que sí al grupo control.

  36. Vale, entonces la paradoja de Hempel es cierta, pero disputas la afirmación de Santiago. No voy a hablar por él, pero yo la entendía en el contexto de la paradoja, que es lo relevante para la paradoja: (i) veo un objeto no negro -amarillo- que resulta ser un no cuervo -canario- y (ii) “que verifica por igual” no es literalmente cierto, depende de lo números de cada tipo de cuervos y de los números de los objetos con esos colores, pero es cierto si le quitas el “por igual” o si lo entiendes de manera cualitativa y no cuantitativa. Es cierto que aumenta la probabilidad de ambos proposiciones (a costa de los cuervos amarillos), aunque no “por igual”.

    Los grupos de control se forman usando información distinta a la manejada en la paradoja. En el grupo de control sabes que no se da la propiedad que buscas (p.e., que se ha tomado una medicina o que tienen un síntoma o que tienen un color o que tienen una forma), no hay aleatoriedad. Ahí nos estamos saliendo del tema. Si quieres hablamos de diseño de experimentos pero será otra cosa.

  37. José Luis:

    “Vale, entonces la paradoja de Hempel es cierta, pero disputas la afirmación de Santiago.”

    ¡Que no! Yo digo lo que Santiago, afirmo que la paradoja de Hempel se toma como cierta si se ignora la falacia del falso positivo y que hay hechos irrelevantes para determinar la probabilidad de otros u otro. Y lo relaciono con la probabilidad condicionada y con la eliminación de los falsos positivos.

    Pero la ciencia y hasta el sentido común rechaza el falso positivo. Dile a tu hijo que le das un caramelo y que mire en su caja de caramelos. Te dice que están LOS QUE YA ESTABAN. Que no hay ni uno más. Los que ya estaban serían falsos positivos. Y no le digas que en el cuarto de baño está su patito de goma, a pesar de que sea del complementario de “te he dado un caramelo”, porque ya te toma a choteo.

    Los niños son grandes filósofos y luego se van echando a perder.

    Si digo “Obama es presidente de los USA” equivale por Bayes a que “Todos los no presidentes de los USA no son Obama”, pero no te pones a buscar no presidentes y les preguntas su nombre. Harías eso, SI ACASO, para eliminarlos del conteo.

    Buscas cosas blancas, ves que son tizas y las ELIMINAS del conteo de cuervos negros o no negros.

    Considera un estudio doble ciego con eliminación de falsos positivos.

    Buscas grupo de indiviuos sin fármaco de prueba, anotas los efectos Y LOS ELIMINAS de los efectos del grupo tratado con fármaco prueba.

    Por eso te decía que afirmar “Vamos en dirección a Pekín” p, es compatible con “he comido bien” q

    O si quieres no usar tablas lógicas sino conjuntos,

    El conjunto de los que van a Pekin tiene un complementario que incluye que un chino ha comido bien, como los no(cuervos y negros) incluyen los (no negros y no cuervos).

    p -> q, pero que el chino haya comido bien no es información para si vas bien para Pekín. Es IRRELEVANTE.

  38. Sursum Corda:

    Haz el favor de decirme dónde está el error en los párrafos de mi mensaje anterior.

    Dices:

    “Buscas cosas blancas, ves que son tizas y las ELIMINAS del conteo de cuervos negros o no negros.”

    No sé qué quieres decirme con esto. Al eliminarlas has alterado la proporción de los distintos colores y de los objetos cuervo y no cuervo. El cálculo de la probabilidad condicionada te dará otro número. No has hecho algo irrelevante (sí en la práctica, no en el cálculo exacto). Deja de ponerme ejemplos de lo absurdo que sería, en la mayoría de los casos, validar el contrarrecíproco. Ya lo sabemos. Te dije más arriba que no se llega a ninguna parte con tablas de verdad o con conjuntos, que no te aportan información acerca de las probabilidades.

    Responde a mi primera frase de este mensaje o no avanzamos.

  39. El error está en asumir que la inducción CUENTA LOS FALSOS POSITIVOS. Y no lo hace.

    José Luis:

    Quería decir lo mismo que te voy a decir ahora, pero espero que AHORA con más fortuna.

    Experimento; la patatomicina cura las anginas.

    Grupo T con patatomicina. Grupo C control sin patatomicina. Ambos con anginas

    Se da la patatomicina a todos. Se evalúa quién ha mejorado y quien no. Evidentemente es DOBLE CIEGO.

    ESENCIALMENTE se cuenta los que han mejorado en el grupo T y en el C.

    Todos los que han mejorado en el grupo T NO CUENTAN AUTOMÁTICAMENTE. Se resta los qe han mejorado en el grupo C, que sin patatomicina han mejorado espontáneamente. Se cree, por ser gurpos al azar y mientras no se demiestre otra cosa que en el grupo T la proporción de mejoras espontáneas es la misma. Se sustrae el número de curaciones espontáneas del nñer de curaciones totales porque SON IRRELEVANTES para la actividad curativa de la patatomicina y si la diferencia a tra´ves de varios experimentos es significativamente positiva se dice que la patatomicina mejora las anginas.

    SE SUSTRAE el número de casos irrelevantes para afirmar que la patatomicina mejora las anginas y eso sólo con un grupo en el que habñia ya enfermos con anginas.

    Se ha hecho la prueba dando patatomicina a vlntarios sanos en u ensayo en fase previa y se ve que NO PROVOCA ANGINAS. Se descarta eso.

    Así que para evaluar la patatomincia

    1 / se descarta a los que NO están enfermos porque no se van a curar ni van a enfermar por el medicamentoç

    2 se descartan los falsos positivos por mejoras espontáneas y

    3 se quedan con lso casos positivos de verdad de verdad.

    Experimento con cuervos a ver si son negros

    1/ se descarta a los que no son cuervos porque da igual si son negros o multicolores para conocer la proporción de curos negros al total de cuervos.

    2/ se descarta la broma del pesao de Pelaez que siempre pinta de negro a los animales de laboratorio

    3/ se cuentan cuervos negros y de otros clores.

    A nadie se le ocurre ir a buscar alondras, tizas o toros de lidia porque son irrelevantes, como los individuos que no tienen anginas, que no tienen garganta porque son percebes a los unicornios porque no existen y a Dios porque se negó.

    Un saludo.

  40. Me restrinjo al caso de los cuervos. Dices:

    “1/ se descarta a los que no son cuervos porque da igual si son negros o multicolores para conocer la proporción de curos negros al total de cuervos.

    2/ se descarta la broma del pesao de Pelaez que siempre pinta de negro a los animales de laboratorio

    3/ se cuentan cuervos negros y de otros colores.”

    Ahí no hay contradicción con mi tercer párrafo del mensaje de 27 de marzo a las 11:07. El siguiente párrafo de ese mensaje es lo que nos ocupa, porque se ocupa de la paradoja. Es línea por línea equivalente a este. ¿Dónde está el fallo? No lo hay.

    Te propongo otra manera de ver las cosas (siempre con los cuervos):

    1. Coge unas cartas en blanco (tamaño naipe), por ejemplo 20. Ponlas sobre una mesa y escribe en cada una de ellas una de las siguientes palabras: cuervo, canario. Por ejemplo, escribe cuervo en 5 y canario en 15.

    2. Coge a un niño de ocho años y dile que pinte cada carta (por el lado que no está escrito) de uno de los siguientes colores: negro, amarillo. Tú te vas y no ves lo que hace el niño. Le dices que deje las cartas por el lado pintado. Cuando vuelves observas que hay, por ejemplo, 8 cartas negras y 12 amarillas.

    3. Para validar la hipótesis “todos los cuervos son negros” puedes ahora hacer varias cosas:

    (a) Pedir al niño que deje las cartas del lado de los nombres (no mires), buscar cuervos y darles la vuelta para ver el color. Cada cuervo negro te aumenta la probabilidad de que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si piensas que el niño pintó al azar los papeles. A priori pensarás que la probabilidad es:

    8/20 x 7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.0036

    (La probabilidad de que cualquier carta sea negra es el número de cartas negras entre el total, 8 sobre 20; descartada la primera, quedan 7 cartas negras sobre 19,…).

    Después de coger un cuervo y ver que es negro, la probabilidad pasa a ser

    7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.009

    (b) Dejar las cartas del lado coloreado, buscar cartas amarillas y darles la vuelta para ver qué pájaro ocultan. Cada carta amarilla que tenga un canario detrás aumenta la probabilidad de que la proposición “todo lo no negro (amarillo) es un no cuervo (canario)” y, por tanto, la proposición “todo cuervo es negro”. Con la hipótesis de que el niño pintó al azar, a priori piensas que la probabilidad de que la hipótesis “lo no negro es no cuervo” es:

    15/20 x 14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0036

    (Fíjate que es igual a la de antes, no podía ser de otra manera).

    Después de coger una carta amarilla y ver que es canario, la probabilidad pasa a ser:

    14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0048.

    La probabilidad ha aumentado, aunque menos que antes.

    Q.E.D.

    Si tenías otra teoría sobre cómo pintó el niño las cartas, cambiarán las probabilidades, pero tendremos el mismo proceso. Lo mismo si no sabes exactamente cuánto hay de cada cosa: tendrás una hipótesis a priori y trabajarás con ella.

    ¿Qué le puede importar a las probabilidades o a las proposiciones nuestra interpretación de las cosas. pájaro, color,..? ¿Qué diferencia hay entre hacer la búsqueda con las cartas de un lado o del otro? Sólo que es más fácil buscar del lado que haya menos casos “relevantes”. Si hay menos cartas cuervo que cartas amarillas, mejor buscar del lado de los pájaros. Si es al revés, mejor buscar del lado de los colores.

    Si crees que he cometido un error, por favor, señala en qué operación me he equivocado. Si quieres hablar de algo que no sea este modelo, por favor exprésalo de manera tan completa como he hecho yo, así podemos ver si es o no la paradoja de Hempel. Si lo es, no hay tutía, la paradoja es cierta. Si no lo es, será otra cosa. Ahí no me meto.

  41. Cometes un error porque CREAS un mundo modelo en el que las frecuencias de las cartas están relacionadas por una ecuación. No es independiente el numero de lo que hemos visto y el de lo que queda.

    El experimento en tu modelo es así y la explicación es la que tú das.

    Pero en el mundo real, no en el modelo de veinte cartas ni en modelo de diez objetos, la probabilidad de los sucesos sacar una tiza blanca y sacar un cuervo negro ES INDEPENDIENTE y es, además, la hipótesis base, a no ser que tú pruebes que ambas probablidades no son independientes. Y tu error consiste en extrapolar la dependencia de los sucesos de tu modelo al mundo de cuervos y tizas.

    En tus modelos las probabilidades no son independientes y POR LO TANTO Y SÓLO EN ESOS CASOS Y SIMILARES un suceso APARENTEMENTE independiente sirve para validar una hipótesis APARENTEMENTE ajena al tema porque ni los sucesos son independientes ni las ecuaciones de las hipótesis son linealmente independientes.

    ¿Tú crees que si un científico por ejemplo se quisiera dedicar a medir las poblaciones de bacalao del Atlántico Norte y encontrase que la probabilidad de encontrar bacalaos y de ciertas edades se correlacionaba con los colores de las tizas de la guardería de sus niños se iba a ir al barco a tirar redes y contar bacalaos?

    Pero LE CONSTA que las probabilidades son independientes y se dedica a contar bacalaos a calcular sus edades y a hacer tablas.

  42. Da igual el número de objetos del universo y da igual si las probabilidades son dependientes o independientes. He puesto el modelo sencillo para que puedas seguir los cálculos. Si las probabilidades fueran independientes, los factores en el cálculo de la probabilidad serían todos iguales y, cada vez que hicieras una observación, eliminarías uno. Al eliminar un factor menor que uno en un producto, el resultado aumenta.

    Dame un modelo consistente con las probabilidades que tú quieras y muéstrame que la paradoja no es cierta en general haciendo los cálculos pertinentes (creo que, al aceptar mi ejemplo, aceptas que por lo menos es cierta en algunas ocasiones).

  43. Modelo.

    1. Una isla con cuervos negros y canarios amarillos.

    2. Una isla con cuervos blancos y canarios amarillos.

    3. Una isla con 50% de cuervos negros, 50% de cuervos blancos y canarios amarillos.

    4. Una isla sin cuervos y canarios amarillos.

    Llega un náufrago a una de las islas y comienza a ver canarios amarillos. ¿En qué isla está? ¿Cuál es la probabilidad de que sea la isla de los cuervos negros antes de ver los canarios amarillos? ¿Y después? ¿Los canarios amarillos han aportado información sobre los cuervos?

    Si tus respuestas son: “NO se puede saber”, “1/4”, “1/4” y “No” ya sabemos qué son datos irrelevantes, sabemos que para la inducción usada en ciencia no se tiene en cuenta los datos que no dan información y son, por tanto irrelevantes, y que la indución científica no contabiliza falsos positivos y no cae en la paradoja de Hempel.

    También habremos acabado la discusión.

    Si tus respuestas son diferentes también habremos acabado la discusión sobre este tema, aunque por otros motivos. Salvo que me muestres aspectos insospechados por mí.

    Otro modelo:

    Saco tres cartas boca abajo y te digo que son el as el dos y el rey.

    Destapas una y es el rey. ¿Cual es la probabilidad p(as)-p(dos) antes y después de destapar el rey? ¿Cuál es la probabilidad de que el numero de la carta sea impar antes y después de haber destapado el rey? ¿Se incrementa la probabilidad del primer suceso en el primer caso? ¿Y en el segundo?

    Si tus respuestas son “0”, “0”, “1/3” “1/2” “No” y “Si”, digo lo de arriba, pero con cartas.

    Un saludo.

  44. Entiendo, para lo que sigue, que en las islas sólo hay lo que dices que hay.

    Te recuerdo que la pregunta debería ser si se incrementa la probabilidad de que la proposición “todos los cuervos son negros” al observar “objetos no negros que no son cuervos” se cumple en la isla en que está el náufrago (sin saber cuál). Te recuerdo también que, según mi argumentación en todos los comentarios, la búsqueda de objetos “no negros” debe ser llevada de manera insesgada, aleatoriamente, puesto que no tenemos más información. Cuando hablamos de que se encuentran canarios amarillos y de si esto aumenta la probabilidad de la proposición. Yo digo que sí, siempre que los hayamos observado aleatoriamente. De los casos que propones te digo que, en aquellos en que haya esa aleatoriedad, la paradoja se cumple. En los que no, no. Por ejemplo, si tú añades que sabemos que los cuervos no son amarillos (islas 2 y 3) y que buscamos, no objetos no negros, sino objetos amarillos, estamos en un caso así. Ahí no se cumple.

    Entiendo también que, llegados a este punto, podemos estar de acuerdo en lo siguiente:

    -Si la búsqueda de los objetos no negros se hace aleatoriamente, y esta produce canarios amarillo o lo que sea (es decir, no busco sesgadamente objetos que ya sé que no son cuervos por la razón que sea –veo el objeto entero o veo el color que sé no corresponde a un cuervo-) la paradoja se cumple.

    -Si la búsqueda de los objetos no negros se hace con alguna información que sabemos ya que es irrelevante para el caso (busco objetos que sé no pueden ser cuervos) entonces la paradoja no se cumple.

    Si estamos de acuerdo en lo anterior, se acabó la discusión. Cada uno estaba hablando de un tipo distinto de búsqueda por una u otra razón.

    La mía es que entiendo que la segunda búsqueda no está permitida en la paradoja. Siempre he dicho que, para la aumentar la probabilidad de “todos los cuervos son negros”, se requiere buscar cuervos aleatoriamente y, por tanto, para la contrarrecíproca se requiere buscar objetos no negros aleatoriamente también. Según esto, tu modelo es compatible con el enunciado de la paradoja si sólo están las islas 1 y 4, y con ellas se cumple la paradoja.

    Si tu posición es que el enunciado de la paradoja se puede interpretar de la otra manera, no lo voy a discutir. Si alguien inteligente como tú lo ha pensado así, es posible que algo no estuviera claro en el enunciado (yo no lo creo, pero dejo abierta la puerta).

  45. José Luis:

    Cuando trato temas de filosofía de la ciencia siento una cierta incomodidad si el filósofo no ha pisado un laboratorio ni ha realizado ningún experimento sino que se ha limitado a escribir. No sé si te ocurre lo mismo o si crees que lo mío es llevar la cosa un poco lejos, pero cuando leo a Feyerabend -lo tengo especial manía- perorar sobre ciencia y no veo que haya participado en experimento alguno siento lo que sentiría ante un filósofo del lenguaje que sólo hablase su idioma materno o lo que siento ante los aficionados al fútbol, sección barra de tasca, que discuten la estrategia del seleccionador y no han dado más patadas que al diccionario.

    O al mismo Popper discutiendo si la teoría de la evolución es científica (siempre pregunto si la selección de caballos de carreras o vacas lecheras no son experimentos suficientes y YA realizados). Así que cuando veo que se propone algo tan lejano a la práctica experimental como verificar contando hechos ajenos a la cuestión -siquiera se haga como experimento mental- tengo la mismo impresión que con los futboleros de tasca.

    Tampoco es que los científicos de laboratorio sean unos prodigios de la filosofía de la ciencia pues muchos no suelen ir más allá de lo necesario para sacar resultados y publicar con un método que a veces ni entienden, y tiene que venir un Popper para sacarlos de sus prejuicios.

    La paradoja de Hempel es una de las cosas que siempre me han hecho pensar que “éste no ha visto un matraz ni en fotos” cosa que no descalificaría a alguien como filósofo de la ciencia pero que le quita muchos méritos.

    Tú dices que si ya sabemos que algo no es cuervo no tiene sentido incluirlo en el cálculo de la probabilidad de (n cuervos negros/N cuervos). Eso, en lo que estamos de acuerdo, supone a mi juicio que la probabilidad de que un cuervo sea negro, o no, depende sólo de algo de la genética, de la fisiología, de la alimentación, de lo que sea DE LOS CUERVOS, pero de los cuervos en principio, no de las tizas. Por lo que contar objetos blancos, ver que después son tizas e incluirlos, es absurdo.

    Me dices que ésa no es la interpretación correcta de la paradoja pues no se buscan no cuervos sino no negros, mientras que saber si son cuervos o no viene después. Pero yo creo que es PRECISAMENTE esa interpretación anterior la base de la apariencia paradójica sin la cual la cosa sería muy diferente como veremos luego.

    Contamos cuervos y podemos descubrir que hay unos genes de tal comportamiento y en tal proporción que la probabilidad de cuervos albinos es X. Podríamos incluso suponer que no es algo intrínseco a los cuervos sino ambiental y que el factor tal produce una frecuencia de cuervos no negros Y. Incluso, que ese factor ambiental puede afectar a no cuervos. Imaginemos un agente mutagénico.

    Pero mi crítica va en el sentido de que la paradoja asume que TODOS los hechos del nonegro es nocuervo CUENTAN por igual como datos que incluir en la probabilidad en forma de casos favorables. Y yo eso lo encuentro absurdo, como parece que lo encuentras tú al decir que si YA SABEMOS que es no cuervo no tiene sentido incluirlo pues la probabilidad de que un cuervo sea negro o de otro color es un suceso independiente de algunos otros, que serán IRRELEVANTES: el color de las tizas, tan citado.

    Mi crítica, que parece que es la misma que aparece en la entrada de Santiago, es que que un canario amarillo “apoya” por igual a dos afirmaciones contradictorias y la explicitaba diciendo que aun si sabemos que se dan los casos de que en una isla todos los cuervos sean negros y en otras de otra manera, el hecho “bicho amarillo es canario” apoya a las dos porque NO APOYA a ninguna. Es como cuando se demuestra que 2x=3x sólo si x=0. La información del bicho amarillo es cero, como hemos visto al calcular que la probabilidad de acertar que los cuervos son negros es la misma antes y después de saber que el amarillo es un canario; o que la probabilidad de saber que una carta es un as es la misma que la de saber que es un dos antes y después de saber que la tercera es un rey.

    Creo que mientras no veas que la información que aporta un supuesto dato es lo que lo hace relevante y que cuando la información es nula el dato es irrelevante, no has ido al centro de la cuestión y te distraes entre situaciones en las que introduces a propósito una relación entre los sucesos haciendo que sean relevantes por hipótesis.

    Sin embargo podemos encontrar situaciones en las que podemos o DEBEMOS mirar objetos no negros.

    Imagina que alguien te dice que en el Sahara todos los tuareg van en camello y nunca en caballo. De lejos puedes distinguir a un camello de un caballo pero no a quien lo monta. Y sólo al acercarte ves si se trata de un tuareg o de un árabe. Podrías decir que en vez de observar tuaregs observas los caballos y si ves que encima va un tuareg la hipótesis queda falsada.

    O una cosa similar si tratamos de ver por qué los aminoácidos son en general levógiros o si un grupo hidroxilo interviene en el mecanismo de acción de un enzima. Podrías hacer pruebas de seres vivos artificiales hechos de tal manera que sus aminoácidos fuesen dextrógiros (cambiando todo lo necesario) y comprobar si hay algo que no los haga viables, que es el caso opuesto de decir que toda vida tiene aa levógiros en forma de “todo aa dextrógiro no es adecuado para la vida”.

    Pero creo que se advierte que no es lo mismo que encontrarse tizas o canarios amarillos para los cuervos negros. Se trata de demostrar algo que cambia radicalmente la probabilidad de la hipótesis de partida. “La vida sólo es posible con aa levógiros” queda falsada con casos de aa dextrógiros que reproduzcan una forma de vida conocida. Sería como haber afirmado que sólo se puede escribir con la mano derecha y observar un zurdo.

    Mi crítica es contra la inclusión entre los casos “favorables” para el suceso no loquesea de los casos que se presentan de manera indiferente para loquesea y no loquesea. Los canarios para los cuervos, por ejemplo. Imagina los pinzones de Darwin, particulares de cada isla y observa gaviotas idénticas en todas las islas. Las gaviotas no te van a dar indicio de los pinzones, y me parece una situación muy verosimil. Creo que las tizas se encuentran en el mismo caso y es absurdo incluirlas como casos favorables de NADA que tenga que ver con e color de los cuervos. Es decir: que si observamos algo blanco y vemos que es una tiza debemos retirarlo del contaje inmediatamente.

    Un saludo.

  46. Entiendo lo que dices de quien solo escribe sin hacer ciencia. Estamos, parece, casi de acuerdo.

    Falta que veas que la información obtenida como resultado de mirar aleatoriamente objetos no negros que resultan ser cuervos es relevante (aunque seguramente infinitesimalmente) solo por ese hecho (esto te lo he demostrado matemáticamente en mi modelo, no puedes ignorarlo y filosofar para que no sea cierto). Si es obtenida sabiendo que no lo es, no lo será. Esto no quiere decir que las tizas afecten en nada al color de los cuervos (son sus genes, como también bien dices). Quiere decir que eliminas de la muestra objetos no negros y que estás un poco más cerca de eliminarlos todos. Si sucede que al eliminar a todos lo objetos no negros no te has topado con un cuervo, la hipótesis es cierta (¿niegas esto?) y no hay relación causal ni física entre unas cosas y otras. No son los objetos los que ennegrecen a los cuervos, es tu contabilidad que elimina el dato no negro.

    Si ves el caballo y, encima el Tureg la hipótesis queda falsada. Si no lo ves, aumenta su probabilidad de ser cierta. La probabilidad es uno cuando has visto todos los caballos (solo hay caballos o camellos y todos lo Tuareg están montados). Pero no ha cambiado nada si solo miras los caballos en los que sabes que no hay Tuareg.

    Sabido dónde está nuestra discrepancia, ponme un modelo bien explicitado en sus detalles y calcúlame las probabilidades de la proposición “todos los cuervos son negros” antes de hacer nada y después de observar un objeto no negro al azar que resulta ser no cuervo. Te dejo que te busques un matemático experto en probabilidad para que te ayude. Si son iguales, eso me convencerá. Si no puedes, deberás considerar que, después de todo, es cierto.

    No hace falta que me pongas ejemplos de lo absurdo que es validar de esta manera la hipótesis. En esto estamos de acuerdo también. En la mayoría de los casos será, en la práctica, irrelevante como tu bien dices y nadie en su sano juicio recomendará esa línea de investigación. Pero que la probabilidad aumenta (aunque infinitesimalmente), aumenta.

    Hay más paradojas que ayudaran a entender la importancia de llegar a una situación por azar o a sabiendas. Por ejemplo, la paradoja de Monty Hall (un concurso, tres puertas A, B y C, un premio, se elige la A, el presentador abre una de las otras, sea B y se ve que no tiene premio, nos propone si cambiar a C). Si el presentador abre la puerta en la que sabe que no está el premio, la paradoja se da (conviene cambiar). Si abre una al azar y resulta que no está el premio, no se da (da igual cambiar o no). Suponemos que el concursante sabe también la regla que usa el presentador (si abre al azar o a sabiendas).

  47. José Luis:

    Hay varias cosas que me planteas y en las que estoy de acuerdo contigo, pero que a mi juicio no tocan al fundamento de mi crítica. Pero hay algo que falta en nuestra discusión y es que analices los ejemplos que te doy -que me pides y te doy- y que son contrarios a contar canarios amarillos, tizas blancas o reyes de la baraja.

    Creo que yo analizo los tuyos y te respondo que entre los casos de nonegro es nocuervo dela paradoja de Hempel no sé si a mí me quedaría ni uno válido por irrelevantes. Te he dicho que en un número limitado y conocido de elementos en los que las relaciones numéricas también sean conocidas, cada caso conocido cuenta como otro caso excluido para la hipótesis contraria pero que eso puede no aportar nada.

    El ejemplo de los tuaregs o árabes en camello o caballo nos sirve porque si agotamos los caballos y ninguno era montado por un tuareg, sólo podemos afirmar que o los tuareg no montan o montan camellos. Pero habíamos dicho que montan o camellos o caballos. Luego todos montan camellos.

    Y hagamos la salvedad de que podría tratarse de que el día que hicimos la observación, o se trataba del día tuareg del camello, en el que entonces y sólo entonces los tuaregs que montan un caballo son castigados sin ver durante un año a sus mujeres, o por pura casualidad ese día ningún tuareg montó un caballo. Suponemos que hemos observado varios días al azar y presumimos que los tuaregs no se han confabulado para gastarnos una broma.

    Pero date cuenta de que la condición necesaria es que hemos agotado los caballos y ya sólo queda que el tuareg que sea monte el camello que sea, pero no un caballo. Supones que el caso similar con tizas o canarios legitima la paradoja de Hempel pero es más bien porque hemos puesto muchas restricciones. Imagina que además de que los tuaregs montan camellos y que hay árabes a caballo o en camello, por el desierto aparecen antílopes sin montura y más de un lagarto. ¿Incluiremos la visión de antílopes sin montura y de lagartos a favor de la hipótesis “todo no camello no está montado por un tuareg”?

    Si la paradoja de Hempel estuviera bien planteada no sólo contaríamos los caballos hasta agotar su número sino que contaríamos antílopes sin montura y lagartos y “he aquí un lagarto sin tuareg” sería un dato “hempeliano” a favor de que todos los tuaregs montan en camello. De hecho la paradoja tiene ese aspecto paradójico porque “datos” como un lagarto se convertirían, de ser legítima, en datos a favor de la hipótesis tuareg/camello.

    La gente, los científicos, los cientifilósofos en ratos libres como un servidor y el 90% de los dentistas que recomiendan un chicle sin azúcar dirían que contar lagartos es una tontería si tratamos de verificar tuareg/camello. No sé cómo podrías no estar de acuerdo en que contar lagartos es irrelevante, que contar lagartos es una de las cosas que hacen paradoja a la paradoja de Hempel y que eso en la inducción científica no se da jamás.

    Y si estás de acuerdo -si es que lo estás- en que contar lagartos es irrelevante, deberías estarlo en que lo procedente es contar camellos o caballos de tal manera que sepamos o estimemos si los tuaregs montan unos u otros. Ver antílopes o lagartos es un dato irrelevante porque aparezcan o no, o en cualquier número o proporción, NO NOS DA INFORMACIÓN acerca del hecho de que los tuaregs monten en camello o en caballos en cualquier proporción.

    Contar caballos y constatar que sobre ninguno de ellos hay un tuareg IMPLICA que los tuaregs montan camellos porque -literalmente- no les queda otra. Pero contar antílopes y lagartos es irrelevante. De hecho, cada antílope y, al menos, un lagarto de cada tres sería compatible tanto con que los tuaregs monten camellos como con que monten caballos o una proporción variable o que vayan en Jeep. Y si cada antílope no nos informa de camellos, caballos o Jeeps es porque es irrelevante y, a pesar de contar para la paradoja de Hempel, no cuenta para ninguna investigación real. Luego la paradoja de Hempel es tal cosa a base de contabilizar tonterías como datos. Y es lo que yo decía en mi primer comentario: un despropósito.

    Concederé muy a gusto que contar caballos hasta agotar su número o agotarnos nosotros mismos puede verificar que todos los tuaregs montan en camello. Es, como decía Santiago, buscar por el Himalaya, ver un sitio, otro, una cueva, otra y concluir que el Yeti no existe. Hemos contabilizado no apariciones de Yeti hasta concluir que los sucesos no Yetis existen y el Yeti no existe. Pero veamos que en este caso contar cueva vacía = noYeti1 + valle vacío = noYeti2… hasta agotar el número de sucesos no Yetis hace imposible que haya un sitio con suceso que incluya Yeti. Como cuando agotamos los caballos y a los tuaregs sólo les quedan camellos que montar.

    Sin embargo, contar sherpas con mochila, lamas extraviados en la nieve o restos del campamento de Edmund Hillary no aporta nada al conocimiento de la existencia o no de Yetis si es que los sherpas viajan, los lamas se extravían en la nieve y los restos del campamento de Hillary están ahí con o sin yetis. O lo hacen tanto como lo harían contar antílopes y lagartos NO para los tuaregs sino para lo del Yeti. Son datos irrelevantes porque no condicionan la frecuencia de casos afirmados por la hipótesis.

    Analiza el ejemplo de los canarios en islas con 100% de cuervos negros, 100% de cuervos blancos, 50%/50% o sin cuervos. Tú dices -corrígeme si me equivoco- que al haber por ejemplo el mismo numero de cuervos que de canarios -si no, reajustamos los números- en la primer isla hay 50% de no negros y que una vez contados los amarillos canarios y alcanzado el 50% sabemos que los cuervos serán negros. En la segunda isla hay un 100% de no negros, un 75% en la tercera y un 100% en la cuarta.

    Pero el mínimo del 50% ¿no es un mínimo no condicionado al color de los cuervos y que nunca va a ser menor pase lo que pase con los cuervos? ¿No es un falso positivo de un 50% de falsos casos favorables y que hay que descartar?

    En una de las últimas entradas de tu blog analizas un caso de falsos positivos y cómo se deben descartar. Los canarios amarillos, las tizas, los lagartos del desierto son falsos positivos, harían muy paradójica la inducción si se contaran, pero no se cuentan. Se descartan.

    Un saludo, José Luis. Un debate con alguien inteligente como tú nunca es un debate “contra” alguien sino a favor de los dos o, al menos, a favor de mi culturilla.

    Santiago, tengo mucho interés en conocer tu opinión sobre el debate.

  48. Sursum Corda:

    He intentado restringirme a los ejemplos que pones y que puedo claramente poner en la forma de la paradoja. No todos los has expresado con suficiente detalle como para ello. Si añado yo algún detalle, me puedes decir que ese no vale.

    “Todos los tuareg montan camello” si encontramos un no camello y no es montado por un tuareg da más probabilidad a “un no camello es montado por un no tuareg”. Estamos en lo de siempre. Si tú ya sabes que nadie monta una lagartija o un antílope. La búsqueda no es aleatoria, ergo no estamos en el planteamiento de la paradoja. Me uno a tus dentistas para no recomendar esta línea de validación.

    Si solo hay caballos y camellos en nuestro mundo concedes que si agotamos los caballos se mostrará la proposición. ¿Concedes también que, sin agotarlos, aumenta la probabilidad -por poco que sea- de que sea cierta? La paradoja no habla de conocer la veracidad de la proposición, sino de aumentar la probabilidad de que sea cierta. La veracidad, o probabilidad uno, se alcanza, efectivamente al haber agotado los cuervos o los objetos no negros, pero esto es secundario al asunto.

    Ya te dije sobre las islas. Si solo buscas cosas amarillas no estás en el planteamiento de la paradoja en las islas 2 y 3 (debes buscar cosas no negras aleatoriamente). Con la 1 estamos en el ejemplo mío de las 20 cartas. En la 4, la que solo tiene canarios amarillos, cuando agotes todo lo amarillo habrás demostrado también que, en esa isla efectivamente “todos los cuervos son negros” (precisamente, por no haber cuervos, la proposición es trivialmente cierta). Sin agotarlos, aumentarás la probabilidad.

    Añado más. Si no sabemos en qué isla estamos y dirigimos la búsqueda a cosas amarillas (en lugar de no negras), como esto es irrelevante en las islas 2 y 3, pero relevante en la 1 y 4 aumentará la probabilidad de estar en una de estas a expensas de las otras. Bueno, esto es un poco inexacto. Dependiendo de los detalles no explicitados (cuántos objetos de cada cosa en cada isla -no sólo la proporción- o qué hipótesis a priori tienes sobre la negritud de los cuervos) podría ser que la probabilidad de estar en la 1, por ejemplo, aumentara tanto que también disminuyera la de la 4.

    No hablaba de más cuervos que canarios. Lo que dije en el modelo de las 20 cartas era que si había más cuervos que objetos amarillos (canarios o lo que sea -desde luego, si todos los canarios son amarillos, implica que haya más cuervos que canarios, pero eso no basta si hay más cosas no negras), la búsqueda de la validez de la proposición “todos los cuervos son negros” se hacía más fácil buscando por el lado del color. Reconozco la irrealidad de esto en la inmensa mayoría de los ejemplos que podemos pensar, pero no en todos.

    Imagínate que, en un acelerador de partículas, descubrimos nuevas partículas. Tenemos pocos datos. Por una parte tenemos observaciones que han detectado 12 veces la partícula 1 y 8 veces otras partículas . Por otra, tenemos que el spin es 1/2 en 15 casos y -1/2 en otros 5. Por cosas de cómo se han recopilado los datos no sabemos qué observación del spin corresponde a qué observación de qué partícula. Pero con gran esfuerzo y gasto podemos examinarlos con más precisión y establecer el vínculo. Para establecer “la partícula 1 tiene spin 1/2” es mejor no mirar los datos de la partícula 1, sino los del spin -1/2. Más rápido y económico.

    Sí, estoy de acuerdo, los canarios amarillos, las tizas y los lagartos son descartables, falsos positivos como los llamas, pero porque ya sabes que son canarios o porque buscas cosas amarillas y no “no negras”, o porque sabes que son tizas o porque sabes ya que los lagartos no son montados por tuaregs. Nada de esto debe ocurrir en el planteamiento de la paradoja. Te expliqué por qué era esta mi interpretación. También te he dicho que si interpretabas que esto cabía en la paradoja, entonces tienes razón que no se cumple. Pero esto no estaba en disputa.

    Otra vez: cuando la búsqueda de las cosas “no negras” es aleatoria (e insesgada, como he dicho alguna vez, aunque esto es redundante), la paradoja es cierta. Cuando no lo es, no tiene por qué serlo. Dame ejemplos de búsqueda aleatoria de cosas “no negras” en que la paradoja no se cumple. Aleatoria: cuando las eliges lo haces al azar y solo sabes que son “no negras”. Si sabes algo más, no vale (si sabes que no es un cuervo porque ves que es un canario o porque ves el color amarillo y sabes que los cuervos no son amarillos). O, si lo prefieres, si sabes algo más, tendrás razón. Pero, en estas condiciones, nunca lo he negado.

  49. Se me olvidaba:

    Gracias por la visita.

  50. hector1564 dice:

    Oye, está mi interesante esta discusión y creo que Jose Luis lleva razón.

    A mi juicio, lo que viene a demostrar esta paradoja sería que cualquier evento aumenta o disminuye la verdad de una proposición cuando se valdia de forma inductiva pero esto surge nada más que como consecuencia de nuestra estrategia epistémica, no implica ninguna ontología por eso el susto no debiera ser tal.

  51. José Luis:

    Responder hoy imposible STOP. Mañana hasta la noche imposible STOP. Veremos por la noche o el martes. STOP.

    (Ya nadie se acuerda de los telegramas, ¿verdad?)

  52. RDC dice:

    Hace un tiempo me leí a Hempel y lo encontré un tipo intelectualmente bastante simple, esos sí, camuflado con una retórica harto técnica y pesada. Además, todos sus planteamientos parten de una tesis falsa… o al menos eso me pareció.

    El problema de la inducción, ya sea en la forma que lo plantea el bueno de Hume o bien, Hempel, resulta un poco estúpida. En realidad, nuestro lenguaje no tiene ningún derecho sobre la realidad; crean lo que crean los chamantes de la ciencia.

    Y es que nuestro lenguaje no descubre nada de la realidad, más bien exige. Por ejemplo: podemos decir tranquilamente que todos los cuervos son negros como si ello fuera una verdad absoluta ¿Qué ocurre, entonces, si consideramos que hay algo parecido a un cuevo pero es blanco? Ante esta problemática tenemos varias opciones:
    a) Definir estos nuevos “animales blancos” como una especie distinta a los cuervos, aunque parecida en muchos aspectos. Por tanto, los identificaremos con otro nombre. Además, seguro que encontraremos otras características distintivas para con los negros (Siempre podemos encontrar matices y distinciones en donde, a primera vista, nos parecía homogenio, igual y uniforme).
    b) Podemos decir que nuestra definición de cuervo como cierto animal negro falla y, por consiguiente, exigiremos que se busque una definición más flexible y más ámplia que contenga, de forma no contradictoria, que los cuervos puedan ser blancos y negros indistintamente.
    c) Pasar de comidas de coco y de justificaciones espistémicas y decir: hay cuervos blancos y cuervos negros ¿Por qué? Porque me da la gana decirlo así. Entonces, se pasa olímpicamente de suponer si hay o no hay una regularidad y unos patrones en la naturaleza y ésta se juzga, simplemente, a posteriori. Eh aquí, ciertamente, la forma más vulgar e inferior de juzgar el mundo.

    A mi entender, pues, cabe empezar a tener en cuenta que el lenguaje es una herramienta, no la verdad ¡Pobre de quién pretenda buscar ciencia en el lenguaje!

    PD/ Siempre me ha parecido que el falsacionismo de Popper no es más que teología camuflada. Y más me sorprende que los científicos la tomaran en serio ¿tan perdidos andaban?

    Saludos.

  53. Héctor:

    Gracias por el capote.

    RDC:

    De ahí la importancia de definir bien las hipótesis antes de hacer nada en ciencia (o en probabilidad), y de ahí mi empeño en toda la discusión de dejar todo bien claro.

    El falsacionismo de Popper es la vuelta del inductivismo. Ambas cosas vienen a decir lo mismo, solo que el falsacionismo lo hace de manera muy concisa y elegante. Recordemos lo que dice: una condición necesaria (no suficiente) para que una teoría sea digna de consideración es la siguiente: de los enunciados que se pueden expresar en el lenguaje de la teoría, la teoría escoge un subconjunto como los que son el caso. Las teologías que se haga uno, Popper incluido, a partir de esto las dejo fuera.

    Los enunciados que no escoge son los que la pueden falsar. Esto es impecable. Si cualquier cosa puede pasar, la presunta teoría no estaría explicando nada. También: si cualquier cosa puede pasar, el método inductivo ni nos acerca ni nos aleja de ninguna hipótesis.

  54. hector1564 dice:

    Por curiosidad,

    ¿Por qué el falsacionismo de Popper no es más que teología camuflada?

    :-O

  55. Santiago, José Luis, Héctor:

    No me olvidé de este tema. Espero volver para responder a los últimos comentarios.

    El libro de Hempel “La teoría de la verdad de los positivistas lógicos” se puede descargar como PDF, si a alguien le interesa.

  56. […] unas semanas nos planteó Santiago en su blog La Máquina de Von Neumann la paradoja de Hempel, que dice lo siguiente. La proposición “todos los cuervos son negros” […]

  57. facundo| dice:

    esta paradoja no es tal, solo una falacia, “todos los cuervos son negros” para mi su negacion no es “todo lo que no es cuervo no es negro” sino “existen cuervos que no son negros”, por ser verdadera la segunda puesto que existen cuervos albinos y marrones, “todo cuervo es negro” es falso. tan simple como eso. es decir creo que el error radica en salir del conjunto de los cuervos, si hablamos de cuervos no podemos hablar de cosas que no son cuervos, y mucho menos se puede afirmar algo sobre un conjunto disjunto, estamos analizando la propiedad de ser negro, cuantificandolo, nada se puede afirmar sobre los no-cuervos no se como explicarme.

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