Mathematas

Publicado: 5 diciembre 2020 en Filosofía de las matemáticas
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Viendo este magnífico vídeo uno entiende el neoplatonismo de Bertrand Russell o de Roger Penrose ¿Quién se atrevería a decir que todas las reglas que dominan el funcionamiento de estos números son una construcción social o histórica? ¿Quién se atrevería a decir que dichas reglas podrían ser diferentes? No, esas reglas son las que son y no podrían ser de otra manera con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no. Y si existen con independencia del sujeto habría que determinar qué tipo de entidad tienen ¿Son materiales? Si así lo fueran podríamos ubicar, por ejemplo, el número siete, en un lugar determinado del espacio, ya que la ubicación espacial parece ser uno de los rasgos más característicos de lo material. Sin embargo, el número siete no parece estar en ningún lado concreto. Tiene, por así decirlo, en don de aparecer allá donde se lo necesita cada vez que alguien lo utiliza para hacer una operación aritmética. Entonces habría que postular algún tipo de existencia diferente a la puramente material para estos mathematas. Platón no era imbécil, desde luego.

Un dato que sale en el vídeo y que me ha dejado perplejo ha sido cuando dice que 1 es igual a 0,9 periódico ¿Cómo? No puede ser. Lo lógico sería pensar que 0,9 periódico está siempre a punto de llegar a 1 pero nunca lo consigue. Pues no, queridos amigos, y la demostración es, además, trivial. Declaremos una variable N que vale 0,9999999999… Ahora la multiplicamos por 10 de modo que 10N = 9,999999999… Ahora, sencillamente, restémosle N a 10N:

Nos da que 9N = 9. Despejamos La N y 9 entre 9 da 1, quod erat demostrandum. Increíble. Pero pensémoslo de otra manera. Sabemos que entre dos números cualquiera siempre podemos meter infinitos números racionales, por lo que, tal y como se afirmaba en la paradoja de Aquiles y la tortuga, hay infinitos números entre cualquier par de números que escojamos por muy “cerca” que pensemos que están. Por ejemplo, entre el 1,3 y el 1,4 podemos meter el 1,31, el 1,32, el 1,33… y luego seguir con el 1,311, el 1,312, el 1,313, etc. ad infinitum. Pero si hacemos lo mismo entre el 1 y el 0,9 periódico… ¿Qué número podemos meter en medio? ¡Ninguno! ¡Intentadlo! No cabe absolutamente nada entre ambos, precisamente porque son el mismo y único número.

Y por si nos hemos quedado con ganas de más, vamos a contar otra demostración que, en el momento en el que la conocí, me dejó absolutamente perplejo. Si comparamos el conjunto de los números naturales y el de los números enteros, el más sano sentido común nos dice que hay más números enteros que naturales…

¿Parece obvio, no? Pues no, porque puede establecerse, trivialmente, una relación biunívoca entre ambos conjuntos de números, es decir, podemos emparejar cada número natural con un número entero de forma que haya la misma cantidad de números. Para hacerlo podemos comenzar emparejando el 0 con el 1, y luego generamos los enteros positivos emparejándolos con los naturales pares y los enteros negativos con los naturales impares. Ya está, podemos seguir hasta el infinito por arriba y por abajo y… ¡siempre tendremos el mismo número de elementos a ambos lados!

Por si nos hemos quedado con ganas, el señor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor va a demostrar de una forma tan sencilla como genial que los números reales (todos los números que existen) no son numerables. Operando por reducción al absurdo, va a suponer lo contrario. Que una lista de elementos sea numerable quiere decir que podemos contarlos, es decir, que como pasaba con los números enteros, podemos emparejarlos con la lista de todos los números naturales. Vamos a intentar hacerlo. Si yo empiezo por el natural 1 y lo emparejo con el real 0,1… ¿con cuál emparejo el 2? Pues con el 0,11 por ejemplo ¿Y el 3? Con el 0,111… Pero, ya nos hemos atascado. Podemos seguir añadiendo unos y jamás llegaremos al 0,2… ¿Cómo lo hacemos? ¡Es muy difícil hacer una lista de números reales cuando podemos meter infinitos entre cada par de números! Cantor nos dice que no vayamos por ahí. Simplemente nos hace falta suponer que todos los números reales pueden ponerse en una tabla y emparejarse con los naturales, por ejemplo, así…

La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales declaradas con la variable a, un índice para el número de fila y un subíndice para el número de columna. La tabla puede extenderse hasta el infinito hacia la derecha y hacia abajo, de modo que da igual lo largo que fuera el número o, incluso, que fuera infinito.

Entonces parecería que da igual cómo ordenemos los números o si tuvieran infinitos decimales. Cualquier número que imaginemos podría ponerse en esta lista y emparejarse con un natural, por lo que habríamos demostrado que los números reales son numerables… No tan deprisa que viene el ingenio de Cantor. Vamos a sumar la unidad a todo número cuyo número de fila y de columna coincidan, trazando así una infinita diagonal que atraviese toda nuestra tabla. El número resultante siempre diferirá en una unidad de cualquier número que esté en la tabla, de modo que existirá, al menos un número, que no hayamos emparejado con un número natural, es decir, que existirá algún número que no hemos contado. Conclusión, los números reales no son numerables ¡Ya está! ¡Así de simple! Pero, ¿a quién se le habría ocurrido hacer una demostración así?

Pero es que no solo existirá un número que no está en la lista. Sencillamente, en vez de sumar la unidad, sumemos dos a cada elemento de la diagonal… y luego 3, 4, 5 y así ad infinitum… ¡Hay infinitos números que no están en la lista y que, por tanto, no hemos contado!

comentarios
  1. Masgüel dice:

    “¿Quién se atrevería a decir que todas las reglas que dominan el funcionamiento de estos números son una construcción social o histórica? ¿Quién se atrevería a decir que dichas reglas podrían ser diferentes? No, esas reglas son las que son y no podrían ser de otra manera con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no.”

    Yo mismo, sin saber más matemáticas que las que aprendí en el bachillerato. Las reglas de la aritmética son una construcción social e histórica. Una construcción social e histórica no tiene por qué ser arbitraria. Jugar a sumar o restar unidades con los dedos de las manos es algo que no puede hacerse sin manos pero, independientemente de que cuentes falanges o nudillos, si no quieres que te engañen en el trato, tendrás que inventar un juego de reglas que permitan reproducir el resultado. Como en un juego cerrado, si aplicas las mismas reglas obtienes los mismos resultados, el funcionamiento y en concreto los teoremas que resultan de aplicar esas reglas tampoco es arbitrario.

    La escuela del materialismo filosófico, cuya ontología no comparto, propone una solución interesante. Las reglas de la aritmética pertenecerían a un género de materialidad M3, que no es corporal ni substancial, ni son las que son “con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no” pero resultan inevitablemente cuando distintas técnicas o cursos operatorios de sujetos corpóreos, como contar dedos o dibujar trazos, coinciden en sus resultados y dan lugar al cierre categorial de una disciplina científica.

  2. Javier dice:

    Sobre el platonismo, voy a decir lo obvio: los distintos sistemas que se emplean en matemáticas son axiomáticamente definidos. De la misma manera que los distintos sistemas de lógica.
    Aunque la aritmética y la lógica sean “arbitrarios” (en el sentido de que no tienen que ser necesariamente así), tampoco es que las matemáticas y la lógica podrían simplemente ser de cualquier otra manera si la historia o la sociedad fuesen distintas, usamos los sistemas de axiomas adecuados para cada aplicación:
    Para hacer cuentas comerciales usamos la aritmética clásica (no tenemos nada mejor que los axiomas de Peano para contar los zapatos que hay en el almacén) , pero si queremos medir el tiempo lo mejor que podemos usar es aritmética modular (donde no hay infinitos números y definimos 12 o 24 como iguales a zero).
    Y con los sistemas de lógica igual, la lógica clásica de Aristóteles sirvió para formalizar argumentos básicos, pero se quedó corta con el tiempo y tuvimos que ampliarla con la lógica de predicados moderna, y la lógica de predicados tampoco es capaz de formalizar conceptos de necesidad y posibilidad, y lo expandimos con la lógica modal moderna.
    Y tampoco es como que haya una lógica suprema que nos permita formalizar todo, siempre va a depender del contexto. Por ejemplo: si necesitamos dos valores de verdad, o tres, o infinitos (lógica difusa). Básicamente, puedes desechar cualquier axioma o añadir cualquier axioma y crear un nuevo sistema, incluso puedes desechar el principio de explosión y crear una lógica paraconsistente.
    ******************************************************

    Resumen: Los sistemas axiomáticos son lo que nosotros queramos que sean, pero casi ninguno nos tiene utilidad. Descansamos encima de una pirámide de matemáticas y lógicas rotas o inservibles. Si nuestras matemáticas tienen una eficacia (no irrazonable) para explicar la naturaleza es porque las diseñamos para ello, sino usaríamos otras.

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