Mathematas

Publicado: 5 diciembre 2020 en Filosofía de las matemáticas
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Viendo este magnífico vídeo uno entiende el neoplatonismo de Bertrand Russell o de Roger Penrose ¿Quién se atrevería a decir que todas las reglas que dominan el funcionamiento de estos números son una construcción social o histórica? ¿Quién se atrevería a decir que dichas reglas podrían ser diferentes? No, esas reglas son las que son y no podrían ser de otra manera con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no. Y si existen con independencia del sujeto habría que determinar qué tipo de entidad tienen ¿Son materiales? Si así lo fueran podríamos ubicar, por ejemplo, el número siete, en un lugar determinado del espacio, ya que la ubicación espacial parece ser uno de los rasgos más característicos de lo material. Sin embargo, el número siete no parece estar en ningún lado concreto. Tiene, por así decirlo, en don de aparecer allá donde se lo necesita cada vez que alguien lo utiliza para hacer una operación aritmética. Entonces habría que postular algún tipo de existencia diferente a la puramente material para estos mathematas. Platón no era imbécil, desde luego.

Un dato que sale en el vídeo y que me ha dejado perplejo ha sido cuando dice que 1 es igual a 0,9 periódico ¿Cómo? No puede ser. Lo lógico sería pensar que 0,9 periódico está siempre a punto de llegar a 1 pero nunca lo consigue. Pues no, queridos amigos, y la demostración es, además, trivial. Declaremos una variable N que vale 0,9999999999… Ahora la multiplicamos por 10 de modo que 10N = 9,999999999… Ahora, sencillamente, restémosle N a 10N:

Nos da que 9N = 9. Despejamos La N y 9 entre 9 da 1, quod erat demostrandum. Increíble. Pero pensémoslo de otra manera. Sabemos que entre dos números cualquiera siempre podemos meter infinitos números racionales, por lo que, tal y como se afirmaba en la paradoja de Aquiles y la tortuga, hay infinitos números entre cualquier par de números que escojamos por muy “cerca” que pensemos que están. Por ejemplo, entre el 1,3 y el 1,4 podemos meter el 1,31, el 1,32, el 1,33… y luego seguir con el 1,311, el 1,312, el 1,313, etc. ad infinitum. Pero si hacemos lo mismo entre el 1 y el 0,9 periódico… ¿Qué número podemos meter en medio? ¡Ninguno! ¡Intentadlo! No cabe absolutamente nada entre ambos, precisamente porque son el mismo y único número.

Y por si nos hemos quedado con ganas de más, vamos a contar otra demostración que, en el momento en el que la conocí, me dejó absolutamente perplejo. Si comparamos el conjunto de los números naturales y el de los números enteros, el más sano sentido común nos dice que hay más números enteros que naturales…

¿Parece obvio, no? Pues no, porque puede establecerse, trivialmente, una relación biunívoca entre ambos conjuntos de números, es decir, podemos emparejar cada número natural con un número entero de forma que haya la misma cantidad de números. Para hacerlo podemos comenzar emparejando el 0 con el 1, y luego generamos los enteros positivos emparejándolos con los naturales pares y los enteros negativos con los naturales impares. Ya está, podemos seguir hasta el infinito por arriba y por abajo y… ¡siempre tendremos el mismo número de elementos a ambos lados!

Por si nos hemos quedado con ganas, el señor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor va a demostrar de una forma tan sencilla como genial que los números reales (todos los números que existen) no son numerables. Operando por reducción al absurdo, va a suponer lo contrario. Que una lista de elementos sea numerable quiere decir que podemos contarlos, es decir, que como pasaba con los números enteros, podemos emparejarlos con la lista de todos los números naturales. Vamos a intentar hacerlo. Si yo empiezo por el natural 1 y lo emparejo con el real 0,1… ¿con cuál emparejo el 2? Pues con el 0,11 por ejemplo ¿Y el 3? Con el 0,111… Pero, ya nos hemos atascado. Podemos seguir añadiendo unos y jamás llegaremos al 0,2… ¿Cómo lo hacemos? ¡Es muy difícil hacer una lista de números reales cuando podemos meter infinitos entre cada par de números! Cantor nos dice que no vayamos por ahí. Simplemente nos hace falta suponer que todos los números reales pueden ponerse en una tabla y emparejarse con los naturales, por ejemplo, así…

La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales declaradas con la variable a, un índice para el número de fila y un subíndice para el número de columna. La tabla puede extenderse hasta el infinito hacia la derecha y hacia abajo, de modo que da igual lo largo que fuera el número o, incluso, que fuera infinito.

Entonces parecería que da igual cómo ordenemos los números o si tuvieran infinitos decimales. Cualquier número que imaginemos podría ponerse en esta lista y emparejarse con un natural, por lo que habríamos demostrado que los números reales son numerables… No tan deprisa que viene el ingenio de Cantor. Vamos a sumar la unidad a todo número cuyo número de fila y de columna coincidan, trazando así una infinita diagonal que atraviese toda nuestra tabla. El número resultante siempre diferirá en una unidad de cualquier número que esté en la tabla, de modo que existirá, al menos un número, que no hayamos emparejado con un número natural, es decir, que existirá algún número que no hemos contado. Conclusión, los números reales no son numerables ¡Ya está! ¡Así de simple! Pero, ¿a quién se le habría ocurrido hacer una demostración así?

Pero es que no solo existirá un número que no está en la lista. Sencillamente, en vez de sumar la unidad, sumemos dos a cada elemento de la diagonal… y luego 3, 4, 5 y así ad infinitum… ¡Hay infinitos números que no están en la lista y que, por tanto, no hemos contado!

comentarios
  1. Masgüel dice:

    “¿Quién se atrevería a decir que todas las reglas que dominan el funcionamiento de estos números son una construcción social o histórica? ¿Quién se atrevería a decir que dichas reglas podrían ser diferentes? No, esas reglas son las que son y no podrían ser de otra manera con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no.”

    Yo mismo, sin saber más matemáticas que las que aprendí en el bachillerato. Las reglas de la aritmética son una construcción social e histórica. Una construcción social e histórica no tiene por qué ser arbitraria. Jugar a sumar o restar unidades con los dedos de las manos es algo que no puede hacerse sin manos pero, independientemente de que cuentes falanges o nudillos, si no quieres que te engañen en el trato, tendrás que inventar un juego de reglas que permitan reproducir el resultado. Como en un juego cerrado, si aplicas las mismas reglas obtienes los mismos resultados, el funcionamiento y en concreto los teoremas que resultan de aplicar esas reglas tampoco es arbitrario.

    La escuela del materialismo filosófico, cuya ontología no comparto, propone una solución interesante. Las reglas de la aritmética pertenecerían a un género de materialidad M3, que no es corporal ni substancial, ni son las que son “con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no” pero resultan inevitablemente cuando distintas técnicas o cursos operatorios de sujetos corpóreos, como contar dedos o dibujar trazos, coinciden en sus resultados y dan lugar al cierre categorial de una disciplina científica.

  2. Javier dice:

    Sobre el platonismo, voy a decir lo obvio: los distintos sistemas que se emplean en matemáticas son axiomáticamente definidos. De la misma manera que los distintos sistemas de lógica.
    Aunque la aritmética y la lógica sean “arbitrarios” (en el sentido de que no tienen que ser necesariamente así), tampoco es que las matemáticas y la lógica podrían simplemente ser de cualquier otra manera si la historia o la sociedad fuesen distintas, usamos los sistemas de axiomas adecuados para cada aplicación:
    Para hacer cuentas comerciales usamos la aritmética clásica (no tenemos nada mejor que los axiomas de Peano para contar los zapatos que hay en el almacén) , pero si queremos medir el tiempo lo mejor que podemos usar es aritmética modular (donde no hay infinitos números y definimos 12 o 24 como iguales a zero).
    Y con los sistemas de lógica igual, la lógica clásica de Aristóteles sirvió para formalizar argumentos básicos, pero se quedó corta con el tiempo y tuvimos que ampliarla con la lógica de predicados moderna, y la lógica de predicados tampoco es capaz de formalizar conceptos de necesidad y posibilidad, y lo expandimos con la lógica modal moderna.
    Y tampoco es como que haya una lógica suprema que nos permita formalizar todo, siempre va a depender del contexto. Por ejemplo: si necesitamos dos valores de verdad, o tres, o infinitos (lógica difusa). Básicamente, puedes desechar cualquier axioma o añadir cualquier axioma y crear un nuevo sistema, incluso puedes desechar el principio de explosión y crear una lógica paraconsistente.
    ******************************************************

    Resumen: Los sistemas axiomáticos son lo que nosotros queramos que sean, pero casi ninguno nos tiene utilidad. Descansamos encima de una pirámide de matemáticas y lógicas rotas o inservibles. Si nuestras matemáticas tienen una eficacia (no irrazonable) para explicar la naturaleza es porque las diseñamos para ello, sino usaríamos otras.

  3. wachovsky dice:

    Para ese neoplatonismo ve por (de ir y ver) Gödel y Max Tegmark y caerás de rodillas fascinado ante el Dios matemático que todo lo originó, las matemáticas son exteriores a nosotros y las hemos incorporado, el universo es una colosal entidad matemática, ve por las constantes universales que establecen relaciones entre entidades y sus dispares magnitudes, ve por un principio cosmológico sin multiverso todo de geometrías y sin necesidad de un principio antrópico que nos justifique porque todo es para llegar a nosotros y porque sí. Ve Santiago Sánchez Migallón y verás, verás que a Darwin le faltó mucho de Turing, que nunca podría haber entendido el plegado y síntesis proteicos a partir de un rato código con base en ácidos nitro genéticos y aminoácidos levógiros. Saludo desde Argentina.

  4. wachovsky dice:

    raro, complejo, base 4 en ADN y ARN, código biogenerador, bioquímico de enlaces cuánticos, de valencias biocuánticas, flexible en adaptación al entorno, reescrito constantemente como cinta y alfabeto de máquina de Turing, ello, sistema inmune y neuronas, algo sin competencia, sin parangón, lo máximo en creación.

  5. Javier dice:

    ¿Cómo van los números a trascender la Realidad? , ¿de qué manera? El platonismo es una falacia de reificación y lo demostraré con un ejemplo:

    El número φ o Φ, del que tanto se habla, se manifiesta en patrones en vegetales, como en piñas o la distribución de hojas o semillas. El número Φ y la espiral áurea creo que están un tanto sobreexagerados (debido a un sesgo de confirmación); es cierto que aparecen en distribuciones de tejidos vegetales, pero, por lo que tengo entendido, aparecen más a menudo espirales logarítmicas en general, y no la espiral áurea en particular. Y hay motivos físicos para ello (pueden ver este vídeo, si no entienden bien el inglés tienen subtítulos en portugués para ayudar: https://youtu.be/14-NdQwKz9w también recomiendo los dos anteriores que sí tienen subtítulos en español).

    Es común ver a gente tratar al número Φ como algo mágico, como una entidad trascendental que manipula cómo se manifiestan los patrones de la vida o algo así (y esto se extiende al resto de números reales). Cuando es completamente lo contrario, surge de un proceso emergente causado por la interacción de fuerzas.
    Nosotros entendemos bastante bien porque la Tierra es una esfera tan perfecta (si tuviese el tamaño de una pelota de tenis nos parecería una esfera perfecta) y no es porque el número Pi influya en nuestra realidad como una entidad trascendental.

    Y al fin y al cabo podemos describir con nuestras matemáticas espacios donde Pi no es igual a 3,141592… y que no se corresponden con la Realidad de nuestro espacio-tiempo (espacios hiperbólicos por ejemplo, o espacios esféricos, como la superficie de la Tierra). Con el lenguaje de las matemáticas también podemos crear mundos ficticios y “mágicos” como con las lenguas corrientes, si queremos saber la geometría de nuestro universo tenemos que observarlo y no deducirlo a través de pura razón. De la misma manera, la lógica no puede probar la existencia de algo (“la existencia no es un predicado”), sino que la existencia de un objeto es una característica de la realidad.

    El platonismo propone la existencia de entidades abstractas, de las que no tenemos ninguna razón para pensar que existen, ya que no parecen tener ninguna relación causal con la realidad, y aquello que pretende explicar ni siquiera está en contención (sabemos de dónde provienen los objetos matemáticos, de nuestras definiciones). Esta debe ser la aplicación más trivial de la Navaja de Ockham concebible (por algo Guillermo de Ockham era nominalista).

  6. wachovsky dice:

    Para la Tierra la constante de gravitación universal, un número fijo inamovible que siempre está, estuvo y estará ahí, con ese número se hizo el medio elástico del espaciotiempo para que la luz ajustada por celeritas lo recorra, otro mero número. Por eso es que trascienden la realidad, porque la realidad física está hecha de números y no al revés. Software de lo Real, parece que no hay nada, puras relaciones numéricas y sin embargo allí lo está todo. Es difícil de aceptar, cómo la entidad que operó con esos números para fabricar el constructor universo que no se autofabricó desde un multiverso previo, que el gran diseño y gran diseño pero sin diseñador, solo a los homínidos se les ocurren tales desajustadas cosas.

  7. pharmakoi dice:

    El hecho de que podamos pensar en números y en entidades diferenciadas depende de nuestras capacidades perceptivas como la gestaltización, tampoco creo que podamos afirmar que todo eso existe independientemente de nosotros cuando es nuestro sistema cognitivo el que da forma al mundo que conocemos. Aunque claro, tendemos a pensar que hay algo en vez de nada, desde luego no se me ocurre como concebir lo contrario excepto estando muerto y careciendo de conciencia, pero entonces no podrías concebir nada.

    Tampoco creo que para negar el platonismo haya que ser más radical que Feyerabend y Berger y Luckham juntos… Lo que no entiendo es ese tufillo constante a religión en esa obsesión por negar la materialidad de las cosas, cuando las religiones no son más que compendios mitológicos que nacieron como una forma metáforica de narrar hechos históricos, y para más inri, las que dominan el mundo a día de hoy son marcadamente patriarcales.

  8. pharmakoi dice:

    En cualquier caso no niego que las partículas, los fotones o las longitudes de onda existan independientemente de nosotros, pero tampoco se me hace imposible imaginar que un sistema cognitivo pudiese interactuar de maneras muy diferentes con ellos o no interactuar en absoluto, en plan niihilista xD. Sobre lo del materialismo yo diría que más que de materialismo deberíamos hablar de fisicalismo (o matizar como hace masguel que material no implica ser corporal o substancial). Todo lo que conocemos tiene una base física o material, no hay entidades que puedan trascender eso, ni el papa de Roma puede, ni el hombre con más IQ del mundo.

  9. pharmakoi dice:

    Si algún día podremos llegar a manipular la realidad física hasta el punto de que el construccionismo social sea aplicable a cualquier campo del conocimiento es algo que ignoro, pero por ahora creo que nadie se ha atrevido a plantear esos extremos. Está claro que hay muchas cosas que escapan a nuestro control y que parecen tener una existencia propia e independiente de nuestras intenciones, pero eso no significa que sean trascendentes en ningún sentido. Aunque es un cuento ese que da muchos frutos para los que saben usarlo como una metáfora de las jerarquías sociales en las que hay entidades (personas) que trascienden (son superiores).

  10. pharmakoi dice:

    Bueno, un último apunte que esto ya raya el cibernarcisismo. Yo la diferencia entre platonismo y materialismo o más en general entre racionalismo y empirismo en filosofía de la mente y psicología no la entiendo como un debate sobre la materialidad del objeto de estudio de tal o cual disciplina. A mi parecer eso es algo que no se discute, que todo parte de la realidad física en cierto modo, la cuestión es si nuestra aprehensión de la realidad depende de la experiencia o si está inscrita en nuestros genes y se desarrolla debido a la maduración del organismo, que es la diferencia entre la postura chomskyana y otras posturas en el desarrollo del lenguaje y que ejemplifica muy bien lo que estoy comentando.

    Una postura más interesante en esto me parece la kantiana, aunque ni es un tema que domine ni estoy seguro de que coincida con lo que yo pienso, pero aquí hay un articulo sobre el tema que esta bastante bien

    https://revistas.ucm.es/index.php/ASEM/article/view/ASEM7070110007A/18499

  11. pharmakoi dice:

    He estado mirando lo de Cantor y creo que con la explicación de la wikipedia en inglés por fin lo he comprendido, pero la verdad Santiago lo explicas bastante mal. De primeras no dices que los axy son, en cada fila, un digito de un numero decimal comprendido entre 0 y1 sino que dices “La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales declaradas con la variable a, un índice para el número de fila y un subíndice para el número de columna.” ¿? no se parece que o no lo has entendido o quieres hacerlo más complicado de lo que es y luego te contentas con decir “Vamos a sumar la unidad a todo número cuyo número de fila y de columna coincidan, trazando así una infinita diagonal que atraviese toda nuestra tabla. El número resultante siempre diferirá en una unidad de cualquier número que esté en la tabla,” no, no diferirá en una unidad, en todo caso diferirá en una una unidad con el dígito ann del número al que le hemos sumado 1. Lo podías haber explicado también con 0 y 1 en base binaria que es más fácil de ver pero vamos aunque te agradezco que me hayas hecho interesarme por el tema si es por ti no me entero ni en dos años.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument

  12. pharmakoi dice:

    “La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales ”

    Pero si las siguientes columnas son el número formado por los dígitos ann de cada uno de los números que son las filas no las columnas (en ninguna demostración he visto que tengan en cuenta las columnas como números…) y para colmo añades “declaradas con la variable a” pues sí, supongo que cada de uno de esos números formados por cada columna se puede considerar que pertenece a una variable pero vamos tú que tanto criticas a ciertos filósofos por oscuros y demás te podrías aplicar el cuento porque vaya bodrio de explicación, al final con lo único que te quedas es con que Cantor y tú sois muy listos y yo pobre lector no valgo un duro… didáctico 100%

  13. pharmakoi dice:

    Para ser más concretos cada número formado por una columna sería el número formado por los dígitos axn (declarados con la variable x y la constante n…lol) siendo n siempre el mismo subíndice para todos los dígitos de cada número ya que pertenecen a la misma columna. Aunque bueno creo entender que si comparas el número resultante de sumar uno a cada dígito de la diagonal con cada número formado por las columnas la demostración también es válida ya que diferirá también en el dígito ann con dicho número. Siento si soy ofensivo como siempre acabo diciendo pero te podías haber esmerado más creo yo.

  14. pharmakoi dice:

    Lo explico yo que veo que tengo que hacerte el trabajo sucio y así hundo más en el olvido los comentarios de los demás jajaja (aunque seguro que soy el único que no lo había entendido).

    Para la lista así formada en la que emparejas cada natural con un real formado por infinitos axy (Xn), siempre hay un Xn+1 formado por los dígitos de la diagonal +x en el que el dígito ann difiere x con el dígito ann del Xn con el que lo compares (siendo en ann el subíndice relativo a la columna, comparandolo por filas, el mismo n que el del Xn con el que lo comparas). Es decir, con el primer número natural diferirá el an1 con el a11 , con el segundo el an2 con el a22 (siendo n en este caso igual al n+1 de Xn+1) y así hasta el infinito. Jajaja igual así es más lioso pero incluso lo veo más claro explicado de esta forma que con la chapuza esa de compararlo por columnas cuando en cada columna no hay un natural que se empareje con cada real.

  15. `pharmakoi dice:

    Bueno a los dígitos de la diagonal no les sumamos x, les sumamos c, una constante, que lo lío sino con el x de axy.

  16. pharmakoi dice:

    Put it simply, si Santiago no considera que me he excedido acaparando que ya tengo un comentario pendiente de moderación

    El número real Xn+1 resultado de sumar c a cada dígito de la diagonal y formar con ella un número siguiendo el orden de la diagonal, siempre diferirá al menos en un dígito con cada uno de los n (infinitos) números reales anteriores. Concretamente diferirá, al menos, en su primer dígito con el primer dígito del primer número de la lista en la cantidad +c , en su segundo dígito con el segundo dígito del segundo número de la lista también diferirá en +c, y así hasta el infinito.

    Por cierto para que mi explicación de los comentarios anteriores sea válida los Xn tienen que empezar con n=1 y seguir de uno en uno, y si los números naturales de la primera columna (que no se cuenta como tal en el subíndice) siguen este mismo orden empezando por el uno, el número natural n siempre será igual al n del Xn y al índice relativo a la fila de los ann del número real emparejado con dicho número natural.

  17. pharmakoi dice:

    “La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales”

    Con esto ya te dejo en paz, pero no es un poco enrevesado decir “combinaciones numéricas de números reales” cuando podrías (y deberías) decir simplemente números reales. Supongo que un número real se puede considerar también una combinación numérica de números reales, o igual te refieres con ese combinaciones numéricas al conjunto de todos los números reales que forman cada uno de ellos una columna. Es que ese “todas las posibles combinaciones numéricas de números reales” suena más a un conjunto formado por todos los conjuntos posibles de números reales con diferentes ordenaciones que a un conjunto formado por todos los números reales ¿no?

  18. pharmakoi dice:

    De nuevo me disculpo por ser tan impulsivo y tan agresivo (y tan trivial) cuando además esto es algo que tú haces casi por amor al arte. No es algo de lo que esté orgulloso ni que me provoque mucha satisfacción, más bien me avergüenzo de comportarme así.

    Solo quería comentar que he visto otro pequeño defecto en tu explicación (dentro de mi gran ignorancia). Cuando dices al final que se le puede sumar cualquier número ad infinitum a cada dígito de la diagonal creo que esto no es del todo correcto. Si lo piensas un poco verás que al aplicarse la suma a un solo dígito lo único que tiene sentido es sumar de 0 a 9, si sumas 10 o múltiplos de 10 obtienes el mismo número y si sumas más es como sumar de 0 a 9. Lo que si creo entender es que probablemente no es necesario sumar el mismo número a todos los dígitos de la diagonal, y por tanto, ya que la diagonal es teóricamente infinita, se pueden obtener infinitos números que difieren de los números de la lista.

  19. pharmakoi dice:

    De 1 a 9…ejem :-/ menos mal que no soy yo el que tiene que soportar las críticas de los haters como yo siempre dispuestos a buscar el mínimo fallo para ganar su momento de protagonismo

  20. pharmakoi:

    Jajaja. Agradezco tus aclaraciones. Pero… tienes que salir más xxD

  21. pharmakoi dice:

    Si, el coronavirus me está matando aunque sea de modo indirecto -:(

    Volviendo al tema inicial quería decir que es cierto cómo se ha dicho que incluso las leyes matemáticas son en parte una construcción social, ya que los sistemas de representación simbólica que usamos para describirlas son arbitrarios, pero también creo que tienen una estructura que está arraigada en la realidad material y no en un mundo ideal o trascendental, el mundo inmaterial donde se situaría el alma platónica. Pero yendo un poco más allá (o más acá) me planteo si el conocimiento que tenemos de esa estructura no depende de nuestro propio modo de conocer. Y también, si todo depende de nuestro modo de conocer, asumo que incluso lo que sabemos sobre este depende también de nuestro modo de conocer, por tanto no me que otra que afirmar el cogito ergo sum cartesiano y decir: de lo único que no puedo dudar es de que dudo.

  22. pharmakoi dice:

    ¿sistemas descriptivos de representación simbólica o medios simbólicos performativos? that is the question.

  23. pharmakoi dice:

    probando, baneado ?

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