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El osado de Mandelbrot lanzó una pregunta de difícil respuesta: ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Una forma de medirla consiste en ir trazando rectas de, pongamos 200 km, que vayan desde los diferentes vértices que nos muestra el accidentado relieve de la costa. La suma de todas esas rectas nos dará una medida aproximada (unos 2.400 km.). Si queremos que la medida sea más precisa lo que tenemos que hacer es ir reduciendo el tamaño de las rectas que utilizamos. Si en vez de utilizar rectas de 200 km, utilizamos rectas de 50 km, la aproximación será más precisa y la media mayor (unos 3.400 km). Y así podemos seguir, utilizando rectas más y más pequeñas y consiguiendo resultados más precisos y mayores. Problema gravísimo: ¿Hasta cuando debemos seguir reduciendo el tamaño de las rectas para conseguir, no una aproximación, sino la medida real? Hasta el infinito (pues siempre podremos hacer una recta más corta que la anterior), por lo que la sorprendente respuesta a la pregunta de Mandelbrot es que la costa de Gran Bretaña mide infinitos kilómetros. No obstante, esto es un sofisma que se basa en que cualquier número es infinitamente divisible en nuevos números. Por este mismo razonamiento jamás puedo avanzar un metro ya que tal distancia es infinitamente divisible en otras medidas por lo que para recorrerlo tengo que atravesar una distancia infinita. Lo que hay que preguntarse es si la realidad, no las cantidades numéricas, es infinitamente divisible. Para ello hay que viajar al mundo cuántico y preguntarnos si hemos descubierto ya las partículas elementales, las partículas que no puedan dividirse en más, lo cual es complicado. Siempre que descubramos una nueva partícula no habrá nada en tal descubrimiento que nos diga que no puede existir otra partícula aún más diminuta. Por lo tanto, la respuesta a la cuestión de Mandelbrot no tiene solución a no ser que descubriéramos alguna ley o propiedad de la naturaleza que nos dijera que es imposible que exista algo más pequeño que la nueva partícula, algo que creo que aún no ha sucedido si bien animo a mis lectores físicos a que me ilustren si estoy equivocado.

Pero vayamos al contenido filosófico profundo que puede sacarse de este planteamiento. Pensemos en que mañana tenemos que subir a una montaña y queremos calcular la distancia que tendremos que recorrer para llegar arriba. Somos gente práctica así que no nos importa que no podamos calcular exactamente la medida, nos valdría con una buena aproximación. Así, cogemos un mapa y vamos trazando líneas rectas que vayan conectando las diferentes líneas de nivel buscando evitar cuestas demasiado abruptas y, realizando los cálculos pertinentes, llegamos a la conclusión de que para subir a la cima tendremos que recorrer 10 km. Si avanzamos a una media de 2 km por hora, calculamos que tardaremos cinco horas en llegar a la cima. Llega mañana y, benditas sean las matemáticas, tardamos aproximadamente cinco horas en llegar. Todo perfecto.

Sin embargo, pensemos ahora que somos una hormiga superinteligente y que nos hemos propuesto la misma misión: queremos llegar a la cima de la misma montaña. Entonces nos surgen nuevos problemas. Para un ser humano una piedra de 10 cm de altura no supone ningún escollo inevitable por lo que las piedras de esa altura no se tenían en cuenta para realizar las mediciones. Se las ignoraba por completo haciendo como si no existieran, fingiendo que una cuesta llena de piedras de esa medida era una recta sin más. Empero, siendo una hormiga, una piedra de 10 cm de altura es algo que, o bien hay que evitar rodeándola, o bien hay que escalarla, por lo que las mediciones de la hormiga han de ser mucho más precisas teniendo que utilizar rectas para medir muchísimo más cortas que las del humano. Siguiendo los designios de Mandelbrot, la distancia que ha de recorrer la hormiga es muchísimo mayor que la que tiene que recorrer el humano, por lo que, para llegar al mismo lugar, ha de recorrer una mayor distancia.

Tenemos entonces dos distancias diferentes para medir el mismo recorrido. ¿Cuál es la distancia real, la del humano o la de la hormiga? Pregunta sin sentido: no existe una medida universal absoluta válida para todos los agentes. En función de la escala del agente (de las medidas de su sistema de observación y locomoción) las medidas serán diferentes. Habrá una medida a escala humana y otra medida a escala hormiga, e incluso una medida a escala Godzila y otra a escala bacteria ¿Esto nos hace caer en un relativismo que imposibilita un conocimiento objetivo de la realidad? NO, ya hemos visto que, realizando los cálculos pertinentes, tenemos predicciones que se cumplen al ser verificadas. REALMENTE, llegamos a la cima en cinco horas.

El pragmatismo vuelve a tener razón: la validez de un conocimiento no se define en función a su ajuste a una verdad universal válida para todos los sujetos sino en función a un plan de acción trazado por un agente determinado. Que un conocimiento solo sea válido para mí, no quiere decir que no sea correcto.

Liberation (1955) es una de mis imágenes favoritas de Escher. Abajo, una serie de triángulos equiláteros perfectamente teselados que, progresivamente, van perdiendo su perfección para materializarse en objetos mundanos, en pájaros propios de nuestra realidad sensible. Es la escena del demiurgo platónico creando el universo. Tenemos el mundo de las ideas, el mundo de las formas geométricas eternas e inmutables sólo accesibles a nuestra alma racional. A mis alumnos, antes de empezar a explicarles a Platón, me gusta preguntarles: ¿Alguien ha visto alguna vez un triángulo? Sorprendidos y extrañados, todos contestan que sí, que hay triángulos por todas partes. No, les respondo, vosotros sólo podéis contemplar copias imperfectas de la idea de triángulo. Si miráis cualquier triángulo con una lupa, haciendo una especie de zoom en cualquier de sus lados, comprobaréis que las líneas que lo forman no son del todo rectas, tienen imperfecciones, son rugosas, sinuosas… de modo que el triángulo perfecto acaba por convertirse en algo irregular, en un objeto del mundo. Las montañas o las playas, como decía Mandelbrot, no son un conjunto de formas geométricas, no se ajustan para nada a las regularidades de nuestra representación euclídea. Nadie jamás ha visto un triángulo.

Así, nuestra realidad, el mundo sensible, es totalmente diferente a nuestros precisos modos de representarlo. Es desordenado, caótico, irregular y, sobre todo, dinámico. Los objetos se mueven, cambian, fluyen en el río de Heráclito. Por eso, para Platón, nuestro mundo es incognoscible: ¿Cómo voy a hacer geometría de un mundo en el que no hay triángulos? Por eso, el conocimiento no es cosa de este mundo, sino del otro. Para comprender hay que escapar de él, romper del velo de Maya de los sentidos, las apariencias de nuestros ojos engañados, liberarse de la esclavitud de la caverna para ver el mundo de las ideas en todo su esplendor.

Sin embargo, en la imagen de Escher, la dirección es opuesta. Los pájaros se liberan de su prisión geométrica y no al contrario. Al principio, parecen atrapados, apretados unos contra otras en la férrea teselación ideal. Cuando se transforman en pájaros abren huecos entre ellos y pueden volar. Al contrario de como pensaba Platón, para Escher el mundo de la libertad no es el de las ideas sino el de los sentidos.

Lo realmente interesante del planteamiento es la oposición entre ambos mundos, disyunción, casi siempre excluyente, que ha atravesado toda la historia del pensamiento. Nuestros científicos crean modelos matemáticos de la realidad buscando isomorfismos entre ambos mundos, buscando representaciones que sean reflejos perfectos de lo que pasa en el mundo sensible, pero muy a menudo, por no decir siempre, la realidad parece escaparse a esta rigidez geométrica. Da la impresión de que el genio maligno de Descartes nos tendió una fatídica trampa: creó un mundo fluido y caótico y nos limitó a pensar en él con estructuras estáticas e inflexibles. La tragedia de la condición humana.

Otro elemento que me gusta del dibujo de Escher es el aspecto de pergamino enrollado que se descubre en la parte inferior de la obra. Parece como si nos quisiera decir que el mundo de las ideas de Platón es mucho más que ese grupo de triángulos equiláteros. Si desenrrolláramos el papel, quizá encontraríamos más ideas platónicas: ¿Estarán allí las ideas de justicia, verdad y bondad, imposibles de dibujar? ¿O quizá Escher ha querido hacer otra referencia al infinito, a esos bucles que se repiten una y otra vez tan presentes en toda su obra? ¿O también a otra autorreferencia? Es posible que los triángulos no sean más que pájaros que han vuelto a ser confinados a su prisión geométrica en un bucle que se cierra sobre sí mismo de modo interminable. La asimetría entre mundos, el infinito, y la autorrefencia: Escher resume en este dibujo todos los límites del conocimiento humano.