Mathematas

Viendo este magnífico vídeo uno entiende el neoplatonismo de Bertrand Russell o de Roger Penrose ¿Quién se atrevería a decir que todas las reglas que dominan el funcionamiento de estos números son una construcción social o histórica? ¿Quién se atrevería a decir que dichas reglas podrían ser diferentes? No, esas reglas son las que son y no podrían ser de otra manera con total y absoluta independencia de que el hombre existiera o no. Y si existen con independencia del sujeto habría que determinar qué tipo de entidad tienen ¿Son materiales? Si así lo fueran podríamos ubicar, por ejemplo, el número siete, en un lugar determinado del espacio, ya que la ubicación espacial parece ser uno de los rasgos más característicos de lo material. Sin embargo, el número siete no parece estar en ningún lado concreto. Tiene, por así decirlo, en don de aparecer allá donde se lo necesita cada vez que alguien lo utiliza para hacer una operación aritmética. Entonces habría que postular algún tipo de existencia diferente a la puramente material para estos mathematas. Platón no era imbécil, desde luego.

Un dato que sale en el vídeo y que me ha dejado perplejo ha sido cuando dice que 1 es igual a 0,9 periódico ¿Cómo? No puede ser. Lo lógico sería pensar que 0,9 periódico está siempre a punto de llegar a 1 pero nunca lo consigue. Pues no, queridos amigos, y la demostración es, además, trivial. Declaremos una variable N que vale 0,9999999999… Ahora la multiplicamos por 10 de modo que 10N = 9,999999999… Ahora, sencillamente, restémosle N a 10N:

Nos da que 9N = 9. Despejamos La N y 9 entre 9 da 1, quod erat demostrandum. Increíble. Pero pensémoslo de otra manera. Sabemos que entre dos números cualquiera siempre podemos meter infinitos números racionales, por lo que, tal y como se afirmaba en la paradoja de Aquiles y la tortuga, hay infinitos números entre cualquier par de números que escojamos por muy «cerca» que pensemos que están. Por ejemplo, entre el 1,3 y el 1,4 podemos meter el 1,31, el 1,32, el 1,33… y luego seguir con el 1,311, el 1,312, el 1,313, etc. ad infinitum. Pero si hacemos lo mismo entre el 1 y el 0,9 periódico… ¿Qué número podemos meter en medio? ¡Ninguno! ¡Intentadlo! No cabe absolutamente nada entre ambos, precisamente porque son el mismo y único número.

Y por si nos hemos quedado con ganas de más, vamos a contar otra demostración que, en el momento en el que la conocí, me dejó absolutamente perplejo. Si comparamos el conjunto de los números naturales y el de los números enteros, el más sano sentido común nos dice que hay más números enteros que naturales…

¿Parece obvio, no? Pues no, porque puede establecerse, trivialmente, una relación biunívoca entre ambos conjuntos de números, es decir, podemos emparejar cada número natural con un número entero de forma que haya la misma cantidad de números. Para hacerlo podemos comenzar emparejando el 0 con el 1, y luego generamos los enteros positivos emparejándolos con los naturales pares y los enteros negativos con los naturales impares. Ya está, podemos seguir hasta el infinito por arriba y por abajo y… ¡siempre tendremos el mismo número de elementos a ambos lados!

Por si nos hemos quedado con ganas, el señor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor va a demostrar de una forma tan sencilla como genial que los números reales (todos los números que existen) no son numerables. Operando por reducción al absurdo, va a suponer lo contrario. Que una lista de elementos sea numerable quiere decir que podemos contarlos, es decir, que como pasaba con los números enteros, podemos emparejarlos con la lista de todos los números naturales. Vamos a intentar hacerlo. Si yo empiezo por el natural 1 y lo emparejo con el real 0,1… ¿con cuál emparejo el 2? Pues con el 0,11 por ejemplo ¿Y el 3? Con el 0,111… Pero, ya nos hemos atascado. Podemos seguir añadiendo unos y jamás llegaremos al 0,2… ¿Cómo lo hacemos? ¡Es muy difícil hacer una lista de números reales cuando podemos meter infinitos entre cada par de números! Cantor nos dice que no vayamos por ahí. Simplemente nos hace falta suponer que todos los números reales pueden ponerse en una tabla y emparejarse con los naturales, por ejemplo, así…

La primera columna representa todos los números naturales y las siguientes representarían todas las posibles combinaciones numéricas de números reales declaradas con la variable a, un índice para el número de fila y un subíndice para el número de columna. La tabla puede extenderse hasta el infinito hacia la derecha y hacia abajo, de modo que da igual lo largo que fuera el número o, incluso, que fuera infinito.

Entonces parecería que da igual cómo ordenemos los números o si tuvieran infinitos decimales. Cualquier número que imaginemos podría ponerse en esta lista y emparejarse con un natural, por lo que habríamos demostrado que los números reales son numerables… No tan deprisa que viene el ingenio de Cantor. Vamos a sumar la unidad a todo número cuyo número de fila y de columna coincidan, trazando así una infinita diagonal que atraviese toda nuestra tabla. El número resultante siempre diferirá en una unidad de cualquier número que esté en la tabla, de modo que existirá, al menos un número, que no hayamos emparejado con un número natural, es decir, que existirá algún número que no hemos contado. Conclusión, los números reales no son numerables ¡Ya está! ¡Así de simple! Pero, ¿a quién se le habría ocurrido hacer una demostración así?

Pero es que no solo existirá un número que no está en la lista. Sencillamente, en vez de sumar la unidad, sumemos dos a cada elemento de la diagonal… y luego 3, 4, 5 y así ad infinitum… ¡Hay infinitos números que no están en la lista y que, por tanto, no hemos contado!

La estafa de la rebelión de las máquinas

Campañas contra los robots asesinos, muchos desarrolladores e investigadores diciendo que la IA puede ser un gran peligro (hace unos días lo hizo Bengio), la famosa carta del Future of Life Institute en la que personalidades como Stephen Hawking, Elon Musk, Steve Wozniak y todo el resto de la flor y nata del stablishment tecnológico norteamericano en la que alertaban sobre el peligro de los desarrollos bélicos de la IA, e incluso el Secretario General de la ONU, Antonio Guterres, hablando de la prohibición de las LAW (Lethal Autonomous Weapons). Raymond Kurzweil escribiendo sobre la singularidad tecnológica y sobre máquinas conscientes para el 2029, Nick Bostrom alertándonos de la gravedad de los problemas a los que llegaremos cuando ocurra la «explosión de inteligencia»: momento en el que surja una IA cuya inteligencia nos supere y se dedique a hacerse más inteligente a sí misma, lo cual llevará a un proceso de crecimiento exponencial… ¡Las máquinas se harán con el mando del mundo y tendrán que decidir si somos una amenaza para ellas o no!

Mucho revuelo, pero ¿hay que tomarse esto en serio? ¿Hay que comenzar a preocuparse por la rebelión de las máquinas asesinas? Ni hablar. Veamos:

1. No hay ni la más mínima evidencia empírica que apunte a la posibilidad de crear máquinas conscientes. Ni la más mínima. Invito al lector a que lea propuestas como CLARION, OpenCog, LIDA, etc. y que juzgue por sí mismo si son conscientes o no, o sí, al menos, están cerca de conseguirlo.
2. En lo referente a una Inteligencia Artificial General, el asunto no está mucho mejor. Hay proyectos e ideas (véase CYC, SOAR o el actual IMPALA) pero, igualmente, están lejísimos de que podamos tener una IA capaz de acercarse a la polivalencia de nuestras mentes de primate. El Frame Problem sigue sin resolverse concluyentemente y nuestras más avanzadas arquitecturas de aprendizaje profundo tienen mucho menos sentido común que un niño de tres años.
3. Entonces, sin base experimental ni teórica alguna… ¿cómo nos atrevemos que decir que la IA artificial es tan peligrosa y, es más, que se rebelará contra sus creadores? Curiosa forma de argumentar: del conjunto vacío de premisas deducimos todo lo que nos da la gana.
4. Es por ello que es absolutamente imposible realizar ningún tipo de predicción al respecto. Es una solemne estupidez hablar de fechas. Sería algo así como preguntarle a un hombre de la Edad Media por la aparición del vuelo a reacción. Los que se atreven a hacerlo se lo inventan sin ningún criterio, así de claro. Igual da decir 2029, 2087, 2598 o 15345.
5. Lo que sí tenemos en IA son excelentes hiperespecialistas: inteligencias capaces de hacer a nivel sobrehumano tareas muy concretas como por ejemplo, jugar al ajedrez o al Go (actuar en entornos muy formalizados), analizar y modificar imágenes, o buscar patrones en ingentes cantidades de datos… pero nada más. Si tienes una red convolucional increíblemente buena detectando un tipo de tumor en radiografías de pulmones y quieres que aprenda otra cosa, solo tienes un camino: borrarlo todo y volver a entrenar a la red desde el principio.
6. El deep learning ha supuesto un gran empujón a un campo que, siendo honestos, ha tenido casi más inviernos que primaveras. Las distintas versiones de Alpha (Go, Zero, Star…) son impresionantes, y el generador de textos recientemente aparecido GPT-2 es lo mejor que nunca he visto… a falta de que hagan público cómo funciona. Sin embargo, a pesar de que estos logros son alucinantes, hay que entender que la ciencia avanza, en la inmensa mayoría de los casos, a base de pequeños pasos.
7. Se cae en un error muy común a la hora de entender el progreso científico. Se cree que porque algo esté avanzando con mucha solvencia, ese avance va a seguir ininiterrumpidamente hasta llegar al infinito. Así, si creamos máquinas un poquito inteligentes, en un futuro, seremos capaces de hacerlas superinteligentes… ¿Por qué? En ciencia es muy común encontrar programas de investigación muy prometedores que terminan por volverse degenerativos y abandonarse. Verdaderamente, no sabemos qué pasará con la IA al igual que no sabemos lo que pasará con ninguna otra tecnología ¿Alguien pudo predecir el éxito de Apple, Twitter, Yotube…? Como bien afirma el analista Nassim Taleb, una de las características de nuestra época es nuestra mas que patente incapacidad de predicción: sucesos altamente improbables suceden por doquier.
8. Pero, dado que nosotros solo somos quarks organizados de una determinada manera y nuestra mente surge de colocar quarks de un determinado modo… ¿no será entonces cuestión de tiempo que descubramos tal colocación y entonces creemos una IA a imagen y semejanza de nosotros y, ya puestos, la haremos mejor que nosotros? Por supuesto, pero esta argumentación es de lo más vacío que puede decirse. No es algo muy alejado de sentenciar: todo lo que sea posible terminará por pasar. Vale, tómate un café ¿Podremos viajar más allá de la Vía Láctea y colonizar el universo? ¿Podremos hacer un zoo de dinosaurios al estilo de Parque Jurásico? ¿Podremos hacer máquinas del tiempo o teletransportarnos? En teoría no vemos que sean imposibles… ¿Centramos entonces todo el debate mediático en torno a estos temas?
9. Andrew Ng dice que debatir ahora sobre la rebelión de las maquinas es equivalente a debatir sobre el problema de la superpoblación en Marte. Es posible que sea un tema muy interesante y evocador, pero no puede tener la cobertura mediática que se le está dando. Hay problemas mucho más acuciantes que merecen mucho más que les dediquemos nuestro esfuerzo.
10. En el fondo se está jugando con una falacia informal, la ad ignorantiam: sacar conclusiones a favor o en contra de algo por el hecho de que no se ha demostrado lo contrario. Como, en el fondo, nadie puede estar en desacuerdo con el punto 6… pues el punto 6 es cierto. Dos cosas: en primer lugar que algo sea irrefutable no quiere decir ni que sea cierto ni que merezca la pena nuestra atención. El famoso ejemplo de la tetera de Russell viene aquí a pelo: sería posible que ahora mismo en un anillo de Saturno existiera una tetera orbitando alrededor del planeta. Si alguien asegura que es absurdo que allí haya una tetera, no tenemos más que decirle que intente demostrar que no es así. Como no podrá, ya está, nuestra afirmación es verdadera. Como nadie ha demostrado que no sea posible crear una IA de inteligencia sobrehumana, la inteligencia sobrehumana llegará y, es más, se rebelará contra nosotros.
11. La carga de la prueba la tiene siempre el que afirma: así los defensores de la rebelión de la IA deberían aportar la suficiente evidencia empírica tanto acerca de la fabricación de máquinas sobrehumanas como de la supuestamente necesaria rebelión de éstas. Como hemos afirmado en 1 y en 2, no existe tal evidencia de lo primero, cuánto menos de lo segundo: ¿a alguien se le ha rebelado alguna vez una máquina y ha querido, a propósito, atentar contra su integridad física? Creo que James Cameron (Terminator) y las hermanas Wachowski (Matrix) han hecho mucho daño.
12. Pero es que es más: existe evidencia en contra. Hay multitud de argumentos que diferencian la mente humana de un computador y que subrayan la imposible reducción de la primera al segundo. Las críticas a la IA Fuerte han llegado desde todos lados. Por citar los más notorios, tenemos el argumento de la irreductibilidad de los qualia de Nagel, la crítica desde la perspectiva heideggeriana de Dreyfus, la indecibilidad gödeliana de la mente de Roger Penrose o, para mí la más notoria, la caja china de John Searle. Creo que, a pesar de las múltiples matizaciones, no se ha conseguido refutar convincentemente a estos autores (sobre todo a Nagel y a Searle).
13. Estos argumentos críticos tampoco llegan a imposibilitar la creación de máquinas superinteligentes o conscientes, solo sostienen que las que hay no lo son y que, por el mismo camino, no lo vamos a conseguir. Yo no tengo ni idea de cómo podrán conseguirse (tendría algún que otro premio Nobel si lo supiera), pero desde luego, estoy seguro de que una consciencia no puede correr en un procesador Pentium (ni en una TPU de Nvidia) ni guardarse en una memoria USB.
14. La rebelión de las máquinas es un tema que puede ser evocador e interesante, incluso un magnífico campo para la reflexión filosófica y el experimento mental. No digo que no se pueda tratar. Yo lo he hecho alguna vez en el blog. Lo que sostengo es que es un tema sobredimensionado que, muchas veces, aparece en el foco de atención mediática como si fuese un problema social de primer orden que urge solucionar, cuando lo único que hay es marketing: se ha encontrado un nuevo nicho por explotar, y hay muchos libros que vender y muchas cátedras universitarias que ocupar.

Addendum del 29-5-2019:

Tuve el honor de ser invitado a participar de este podcast de Xataka en donde se habló de este artículo y se profundizó sobre el tema.

N-ismo de propiedades y parecidos de familia

Las dos posturas ontológicas que tradicionalmente han dominado la historia de la filosofía han sido, primero, el dualismo de propiedades (anteriormente conocido como dualismo platónico o cartesiano) y, luego, el materialismo, siendo esta última la que domina en los ambientes intelectuales de corte cientificista de la actualidad.

El dualismo, en la medida en que sostiene la total independencia e incomunicación entre la mente y el cuerpo, es una teoría absurda. Aunque no sepamos cómo nuestro cerebro genera estados mentales, ni sepamos qué relación hay entre uno y otros,  tenemos claro que existe una estrecha relación. Creo que no hace falta ni mencionar, por obvio, lo que ocurre con nuestros estados mentales cuando bebemos mucho alcohol o cuando nos anestesian.

Y con respecto al materialismo ya sabéis mi postura : creo que no sabemos lo suficientemente bien qué es la materia para enarbolar la proposición «Todo lo que existe es x, siendo x materia» , como subrayaba la crítica de Moulines al materialismo y que discutimos largamente en este blog. Además, el materialismo siempre ha tenido, y tendrá, el problema de la conciencia como bestia negra: ¿Cómo explicar la existencia de estados mentales que no son claramente definibles en términos materiales? Las estrategias pasan por negar la existencia de tales estados, bien directamente (Ryle, Dennett o Patricia Churchland), bien reduciéndolos a estados funcionales (Fodor y, al principio, Putnam) o, directamente, hacerlos idénticos a los estados neuronales (Smart); o de modo casi embarazoso, evitando hablar de ellos (el conductismo en general). Desgraciadamente para todos ellos, los estados mentales se resisten a ser reducidos y ninguna de las propuestas parece satisfactoria. ¿Qué hacer entonces? ¿Es que cabe otra alternativa a ser materialista o dualista? Pienso que sí.

Una de las aportaciones más famosas de Wittgenstein en sus Investigaciones Filosóficas es el concepto de «parecidos de familia».  Wittgenstein intenta definir qué es el lenguaje, pero se encuentra con una pluralidad de lenguajes diferentes (los que llamará juegos de lenguaje) a los que no encuentra una característica en común tal que nos sirva para la definición:

66. Considera, por ejemplo, los procesos que llamamos «juegos». Me refiero a los juegos de tablero, juegos de cartas, juegos de pelota, juegos de lucha, etc. ¿Qué hay de común a todos ellos? – No digas: «Tiene que haber algo común a ellos o no los llamaríamos juegos» – sino mira si hay algo común a todos ellos. – Pues si los miras no verás por cierto algo que sea común a todos, sino que verás semejanzas, parentescos y, por cierto, toda una serie de ellos. Como se ha dicho: ¡no pienses, sino mira! Mira, por ejemplo, los juegos de tablero con sus variados parentescos. Pasa ahora a los juegos de cartas: aquí encuentras muchas correspondencias con la primera clase, pero desaparecen muchos rasgos comunes y se presentan otros. Si ahora pasamos a los juegos de pelota, continúan manteniéndose carias cosas comunes pero muchas se pierden – ¿Son todos ellos entretenidos? Compara el ajedrez con las tres en raya. ¿O hay siempre un ganar o perder, o una competición entre los jugadores? Piensa en los solitarios. En los juegos de pelota hay ganar y perder; pero cuando un niño lanza la pelota a la pared y la recoge de nuevo, ese rasgo ha desaparecido. Mira qué papel juegan la habilidad y la suerte. Y cuán distinta es la habilidad en el ajedrez y la habilidad en el tenis. Piensa ahora en los juegos de corro: Aquí hay el elemento del entretenimiento, ¡pero cuántos de los otros rasgos característicos han desaparecido! Y podemos recorrer así los muchos otros grupos de juegos. Podemos ver cómo los parecidos surgen y desaparecen.

Y el resultado de este examen reza así: Vemos una complicada red de parecidos que se superponen y entrecruzan. Parecidos a gran escala y de detalle.

Cuando observamos la realidad, contemplamos una ingente cantidad de clases de «cosas» entre las que solamente encontramos parecidos, sin conseguir vislumbrar nada que todas ellas tengan en común de tal modo que podamos decir que en la realidad únicamente hay x (tal como erróneamente hace el materialismo) pues, ¿qué tendrían en común un átomo, un dolor de muelas, un teorema matemático, la velocidad, los tipos de interés, la batalla de San Quintín y la digestión? Algunas similitudes, parentescos… parecidos de familia:

67. No puedo caracterizar mejor esos parecidos que con la expresión «parecidos de familia»; pues es así como se superponen y entrecruzan los diversos parecidos que se dan entre los miembros de una familia: estatura, facciones, color de los ojos, andares, temperamento, etc., etc. – Y diré: los ‘juegos’ componen una familia.

¿A qué postura nos llevaría aplicar la teoría de parecidos de familia de Wittgenstein a la ontología? A un pluralismo ontológico (n-ismo de propiedades si se quiere): existe un sólo mundo (no necesitamos un mundo platónico dónde existen los teoremas matemáticos ni otro mundo para los estados mentales como pasa con Popper o Penrose) pero en él hay muchas propiedades diferentes tal que no podemos definir cuál sería la característica común a todas ellas. Como dice Searle:

Hay montones de propiedades en el mundo: electromagnéticas, económicas, geológicas, históricas, matemáticas, por decir algunas. De manera que si mi posición es un dualismo de propiedades, en realidad debería llamarse pluralismo de propiedades, n-ismo de propiedades, dejando abierto el valor de n. La distinción verdaderamente importante no es la que puede darse entre lo mental y lo físico, entre la mente y el cuerpo, sino la que puede darse entre aquellos rasgos del mundo que existen independientemente de los observadores – rasgos como la fuerza, la masa y la atracción gravitatoria – y aquellos rasgos que son dependientes de los observadores – como el dinero, la propiedad, el matrimonio y el gobierno -. El caso es que, aunque todas las propiedades dependientes del observador dependen de la conciencia para su existencia, la conciencia misma no es relativa al observador. La conciencia es un rasgo real e intrínseco de ciertos sistemas biológicos como el suyo y el mío».

John Searle, El misterio de la conciencia.

La mente, a pesar del materialismo, permanece irreductible a lo material. Sin embargo, no por ello hay que aceptar el dualismo. ¡Acepta el n-ismo de propiedades!

¿Soy F?

Roger Penrose dedicó bastante más tinta en defender  los argumentos de Shadows of Mind que en escribir dicha obra. En una de sus contrarréplicas, publicada en la revista Psyche (Enero, 1996), nos ofrece una de las versiones más claras de su famoso argumento.

Supongamos que todos los métodos de razonamiento matemático humanamente asequibles válidos para la demostración de cualquier tesis están contenidos en el conjunto F. Es más, en F no sólo introducimos lo que entenderíamos como lógica matemática (axiomas y reglas de inferencia) sino todo lo matemáticamente posible para tener un modelo matemático del cerebro que utiliza esa lógica (todos los algoritmos necesarios para simular un cerebro). F es, entonces, el modelo soñado por cualquier ingeniero de AI: un modelo del cerebro y su capacidad para realizar todo cálculo lógico imaginable para el hombre. Y, precisamente, ese es el modelo soñado porque la AI Fuerte piensa que eso es un ser humano inteligente. Así, cabe preguntarse: ¿Soy F? Y parece que todos contestaríamos, a priori, que sí.

Sin embargo, Roger Penrose, piensa que no, y para demostrarlo utiliza el celebérrimo teorema de Gödel, que venimos a recordar a muy grosso modo: un sistema axiomático es incompleto si contiene enunciados que el sistema no puede demostrar ni refutar (en lógica se llaman enunciados indecidibles). Según el teorema de incompletitud, todo sistema axiomático consistente y recursivo para la aritmética tiene enunciados indecidibles. Concretamente, si los axiomas del sistema son verdaderos, puede exhibirse un enunciado verdadero y no decidible dentro del sistema.

Si yo soy F, como soy un conjunto de algoritmos (basados en sistemas axiomáticos consistentes y recursivos), contendré algún teorema (proposiciones que se infieren de los axiomas de mi sistema) que es indecidible. Los seres humanos nos damos cuenta, somos conscientes de que ese teorema es indecidible. De repente nos encontraríamos con algo dentro de nosotros mismos con lo que no sabríamos qué hacer. Pero en esto hay una contradicción con ser F, porque F, al ser un conjunto de algoritmos, no sería capaz de demostrar la indecibilidad de ninguno de sus teoremas por lo dicho por Gödel… Una máquina nunca podría darse cuenta de que está ante un teorema indecidible. Ergo, si nosotros somos capaces de descubrir teoremas indecidibles es porque, algunas veces, actuamos mediante algo diferente a un algoritmo: no sólo somos lógica matemática.

Vale, ¿y qué consecuencias tiene eso? Para la AI muy graves. Penrose piensa no sólo que no somos computadores sino que ni siquiera podemos tener un computador que pueda simular matemáticamente nuestros procesos mentales. Con esto Penrose no está diciendo que en múltiples ocasiones no utilicemos algoritmos (o no seamos algoritmos) cuando pensemos, sólo dice (lo cual es más que suficiente) que, habrá al menos algunas ocasiones, en las que no utilizamos algoritmos o, dicho de otro modo, hay algún componente en nuestra mente del cual no podemos hacer un modelo matemático, qué menos que replicarlo computacionalmente en un ordenador.

Además el asunto se hace más curioso cuanto más te adentras en él. ¿Cuáles podrían ser esos elementos no computables de nuestra mente? La respuesta ha de ser un rotundo no tenemos ni idea, porque no hay forma alguna de crear un método matemático para saber qué elementos de un sistema serán los indecidibles. Esto lo explicaba muy bien Turing con el famoso problema de la parada: si tenemos un ordenador que está procesando un problema matemático y vemos que no se para, es decir, que tarda un tiempo en resolverlo, no hay manera de saber si llegará un momento en el que se parará o si seguirá eternamente funcionando (y tendremos que darle al reset para que termine). Si programamos una máquina para que vaya sacando decimales a pi, no hay forma de saber si pi tiene una cantidad de decimales tal que nuestra máquina tardará una semana, seis meses o millones de años en sacarlos todos o si los decimales de pi son infinitos. De esta misma forma, no podemos saber, por definición, qué elementos de nuestra mente son no computables. A pesar de ello, Penrose insiste en que lo no computable en nuestra mente es, nada más y nada menos, que la conciencia, ya que, explica él, mediante ella percibimos la indecibilidad de los teoremas. Es posible, ya que, aunque a priori no pudiéramos saber qué elementos no son decidibles, podríamos encontrarnos casualmente con alguno de ellos y podría ser que fuera la conciencia. Pero, ¿cómo es posible que nuestro cerebro genere conciencia siendo el cerebro algo aparentemente sujeto a computación? Penrose tiene que irse al mundo cuántico, en el que casi todo lo extraño sucede, para encontrar fenómenos no modelizables por las matemáticas y, de paso, resolver el problema del origen físico de la conciencia.

Las neuronas no nos valen. Son demasiado grandes y pueden ser modelizadas por la mecánica clásica. Hace falta algo más pequeño, algo que, por su naturaleza, exprese la incomputabilidad de la conciencia. Penrose se fija en el citoesqueleto de las neuronas formado por unas estructuras llamadas microtúbulos. Este micronivel está empapado de fenómenos cuánticos no computables, siendo el funcionamiento a nivel neuronal, si acaso, una sombra amplificadora suya, un reflejo de la auténtica actividad generadora de conciencia. ¡Qué emocionante! Pero, ¿cómo generan estos microtúbulos empapados de efectos cuánticos la conciencia? Penrose dice que no lo sabe, que ya bastante ha dicho…

O sea señor Penrose, que después de todo el camino hecho, al final, estamos cómo al principio: no tenemos ni idea de qué es lo que genera la conciencia. Sólo hemos cambiado el problema de lugar. Si antes nos preguntábamos cómo cien mil millones de neuronas generaban conciencia, ahora nos preguntamos cómo los efectos cuánticos no computables generan conciencia. Penrose dice que habrá que esperar a que la mecánica cuántica se desarrolle más. Crick o Searle nos dicen que habrá que esperar a ver lo que nos dice la neurología… ¡Pero yo no puedo esperar!

Además, ¿no parece extraño que la conciencia tenga algo que ver con el citoesqueleto de las neuronas? La función del citoesqueleto celular suele ser sustentar la célula, hacerla estable en su locomoción… ¿qué tendrá que ver eso con ser consciente? Claro que en el estado actual de la ciencia igual podría decirse: ¿qué tendrá que ver la actividad eléctrica de cien mil millones de neuronas con que yo sienta que me duele una muela?

La hipótesis de la célula de la abuela

Uno de los primeros experimentos que apuntaba cómo se lleva a cabo el procesamiento en el córtex visual fue el que les valió el Premio Nobel de 1981 a David Hubel y Tornsten Wiesel. En sus experimentos fueron capaces de demostrar que ciertas células del córtex visual del gato respondían a líneas en el campo visual que tenían un ángulo de inclinación particular. Otras células próximas respondían a líneas con diferentes ángulos de inclinación. A menudo no importaba qué era lo que formaba este ángulo. Podía ser una línea que señalaba la frontera entre la oscuridad y la luz o, por el contrario, entre luz y oscuridad, o simplemente una línea oscura sobre un fondo claro. Sólo la característica del «ángulo de inclinación» había sido abstraída por las células concretas que se estaban examinando. Pero otras células respondían a colores concretos, o a las diferencias entre lo que percibe cada ojo de modo que se pueda obtener la percepción de profundidad. A medida que nos alejamos de las regiones de recepción primaria encontramos células que son sensibles a aspectos cada vez más sutiles, de nuestra percepción de lo que vemos. Por ejemplo, la imagen de un triángulo blanco completo es percibida cuando miramos el dibujo [la imagen de arriba]; pero las líneas que forman el propio triángulo no están en realidad presentes en la figura sino que son inferidas. ¡Se han encontrado, en efecto, células en el córtex visual (en lo que se llama córtex visual secundario) que pueden registrar las posiciones de estas líneas inferidas!

Hubo diversas afirmaciones en la literatura, a comienzos de los años setenta, del descubrimiento de una célula en el córtex visual del mono que respondía sólo cuando se registraba en la retina la imagen de un rostro. Basada en esta información se formuló la «hipótesis de la célula de la abuela», según la cual habría ciertas células en el cerebro que responderían ¡sólo cuando la abuela del sujeto entraba en la habitación! De hecho, hay descubrimientos recientes que indican que ciertas células responden solamente a palabras concretas. ¿Quizá esto vaya en camino de la verificación de la hipótesis de la célula de la abuela?

Roger Penrose en La nueva mente del Emperador

Los límites de la computabilidad (III): el número U

Ya comentamos cómo Turing define el concepto de algoritmo mediante las famosas máquinas que llevan su nombre. Así, habría Máquinas de Turing (MT) para encontrar el máximo común divisor entre dos números, resolver raíces cuadradas,ecuaciones de segundo grado… ¡para cualquier acción que pueda realizarse en un número finito de pasos! ¿Podría resolver alguno de los grandes enigmas de las matemáticas propuestos por Hilbert, tal como la peliaguda conjetura de Goldbach?

El genio de Turing se puso en acción: cualquier MT puede codificarse numéricamente. Simplemente se trata de establecer una función entre las instrucciones  de funcionamiento (lo que Turing llamaba la configuración-m) y números. Entonces cada MT tendrá un determinado número de identificación que la diferenciaría de las demás. A partir de aquí puede construirse una Máquina Universal de Turing, es decir, una máquina que pueda hacer lo que todas las demás MT hacen. Si cada MT tiene un código de identificación, podemos hacer una máquina tal que reciba como input tal código e, inmediatamente, devuelva lo que esa MT en concreto devuelve. Si, por ejemplo, le introducimos el código de identificación de la MT que genera la cadena de los números naturales, nuestra nueva máquina devolverá esa misma cadena de números. Esto es una Máquina Universal de Turing (MU), la cual, a su vez, tiene un número de identificación:

7244855335339317577198395039615711237952360672556559631108144796606505059404241090310483613

6323593656444434583822268832787676265561446928141177150178425517075540856576897533463569424

7848859704693472573998858228382779529468346052106116983594593879188554632644092552550582055

5989451890716537414896033096753020431553625034984529832320651583047664142130708819329717234

1505698026273468642992183817215733348282307345371342147505974034518437235959309064002432107

7342178851492760079759763441512307958639635449226915947965461471134570014504816733756217257

3446452273105448298078496512698878896456976090663420447798902191443793283001949357096392170

3904833270882596201301773727202718625919914428275437422351355675134084222299889374410534305

47104436869587640517812801194375308138706399427728231564252892375145654438990527807932411448

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86945639498

Este es el número U según nos lo ofrece Roger Penrose en La nueva mente del emperador . Tiene 1.653 dígitos y, a priori, prometía ser la leche: en él, de algún modo, se encuentra la solución a todos los problemas matemáticos en tanto que todos los problemas matemáticos tengan solución en una serie de pasos finitos. Y, a pesar de lo que ahora veremos, lo fue: el ordenador desde el que estás leyendo esto es una muy refinada MU (No deja de ser fascinante que lo que en otras épocas fueron descubrimientos que sólo invitaban a soñar, son ahora realidades ordinarias).

Turing utiliza la MU para afrontar el gran problema de la decibilidad de las proposiciones de la matemática (el problema matemático de todos los problemas, el Entscheidungsproblem ): dado una proposición matemática cualquiera, ¿existe un método que nos digera si esa proposición es demostrable dentro del propio sistema? O dicho de otro modo: ¿existe un método que nos digera si la conjetura de Goldbach es demostrable? Turing fabula con la idea de que fuéramos introduciendo en la MU todas las cadenas numéricas posibles (ya que cada una de ellas representaría una MT concreta, aunque, lógicamente la inmensa mayoría darían máquinas absurdas que no funcionan o cuyo funcionamiento es circular). ¿Sería posible diseñar una nueva máquina que, dada una cadena numérica cualquiera, pudiera decidir si la MT que la genera no es circular, es decir, que es una MT perfectamente funcional? Turing llama a esta máquina D (MD). Si esta máquina fuera posible, el problema de la decibilidad (también llamado en este caso «problema de la parada») se resolvería: la MD sería ese método para decidir, dada una proposición matemática cualquiera, si es demostrable dentro del propio sistema. ¡Las matemáticas serían completas y Hilbert sonreiría de felicidad! Todos los teoremas de las matemáticas estarían allí, como en un mundo platónico, esperando tranquilamente a que una nueva generación de matemáticos los resuelva…  ¡Todos los problemas matemáticos estarían dentro de U!

Pero nuestro gozo en un pozo: no es posible construir MD. Turing da dos pruebas: la primera se basa en la ingeniosa diagonalización de Cantor. Podemos ir agrupando en una tabla con filas y columnas toda la serie de cadenas numéricas que devuelve nuestra MU «cargada» con todas las MT concretas posibles que han sido seleccionadas como válidas por MD. Por ejemplo, tendríamos la secuencia de la MT que genera una serie infinita de unos, la que genera toda la serie de números naturales, etc. como mostramos en la tabla de aquí abajo. Podemos entonces dibujar una diagonal seleccionando el número que hay en la primera casilla de la primera fila, en la segunda casilla de la segunda, en la tercera de la tercera, etc. (en la tabla la marcamos en negrita).

1	1	1	1	1	1	1	1	etc
0	1	0	1	0	1	0	1	etc
1	2	3	4	5	6	7	8	etc
1	3	4	7	9	11	13	15	etc
2	4	6	8	10	12	14	16	etc
3	6	12	24	48	96	192	348	etc
2	3	5	7	11	13	17	19	etc
0	1	8	27	64	125	216	343	etc
1	4	9	16	25	36	49	64	etc

 

Podemos después agrupar los números de nuestra diagonal y hacer una nueva fila en la que, a cada número, le sumamos la unidad:

2

2

4

8

11

97

18

344

Etc+1

 

Realizar esta acción es un algoritmo, ya que seleccionar estas casillas y sumarles la unidad es un proceso que hemos hecho en un número finito de pasos (además corto, por lo que la MT necesaria para hacerla es trivial). Entonces, esta secuencia debería ser generada por nuestra MU «cargada» con todas las MT elegidas como correctas por MD, pero… ¡es imposible que la MU nos de esta secuencia! ¿Por qué? Porque al sumarle uno a una casilla de cada fila, todas las cadenas generadas diferirán en alguna de sus casillas, en una unidad con respecto a esta cadena. Es decir, nuestra MU podrá generar todas las cadenas correctas verificadas por MD, menos, como mínimo ésta… ¡Hay al menos, una cadena que no es decidible desde MU! ¡Se le ha escapado un preso a nuestro robótico vigilante de la corrección! Hilbert saca un pañuelo y se pone a llorar. La MD podría no reconocer la MT que resolviera la conjetura de Goldbach.

La segunda prueba (que a Turing le gusta más que la primera) se basa en la idea de que pudiéramos construir una máquina híbrida: una MU y una MD en la misma máquina (DU). Esta máquina se encontraría como input con una cadena cualquiera que la parte MD verificaría como correcta o no. Si fuera correcta, la parte MU replicaría el funcionamiento de la MT codificada y devolvería la cadena que la MT concreta devuelve. Bien, parece que no hay problema. Pero, ¿qué pasaría si le pasamos como input el mismo número de identificación de la propia DU? MD la verificaría como correcta y la pasaría a MU para que replicara su función, a saber, de nuevo verificar mediante DU si es circular para pasarla luego a MU, la cual activaría otra vez DU, que pasaría la cadena otra vez a MU… así sucesivamente hasta el infinito… ¡Al introducir su código en si misma DU se vuelve circular! ¿Pero no habíamos dicho que DU no era circular al pasar por la verificación de MD? ¿Qué pasa aquí? Una paradoja no muy diferente a la de Epiménides y los cretenses. Definitivamente, hay procesos algorítmicos indecidibles, como ya había mostrado Alonzo Church unos años antes que Turing. Pero no nos pongamos a llorar tan rápido, hay que tener en cuenta que Turing sólo había demostrado la indecibilidad de las matemáticas, no su incoherencia . Como el matemático André Weil dijo:

Dios existe, ya que las matemáticas son consistentes; el demonio también, ya que no podemos demostrarlo.

Si te ha gustado lee también sus precuelas: II y I.

Cómo elegir una película para niños de la ESO o por qué somos robots zombi

Todos los lunes tengo que impartir una hora de «Alternativa a la Religión», una pseudoasignatura en la que no se puede hacer nada, ni dar ningún tipo de temario ni hacer maldita la cosa con fines pedagógicos (contradicciones del sistema educativo. Si fuera la única…). Lo único que se permite de forma unánime es ver películas, así que como hombre obediente que soy, eso hacemos todos los lunes en la clase de 3ª ESO B.

Tengo la mala costumbre de dejar la elección de la película a última hora, así que siempre ando el lunes, veinte minutos antes de que empiece la clase, mirando con  prisas en mi colección de películas cuál sería la adecuada para el alumnado. Empecé mirando la estantería de izquierda a derecha. Blade Runner no que es demasiado densa para los críos, 2001 demasiado lenta, Dogville no la van a entender, Troya ya se la he puesto, Reservoir Dogs ni de coña… ¡Bingo! Million Dollar Baby, de boxeo pero muy humana, perfecta.

Sin embargo, en ese momento me acordé de que Million Dollar Baby ya se la había puesto. Es más, me vino a la memoria todo el proceso de elección de esa película cuando lo hice la vez pasada y comprobé que había sido exactamente igual. Me vi a mi mismo empezando de izquierda a derecha y descartando las otras películas exactamente por las mismas razones que había dado ahora mismo. Los dos  procesos habían sido idénticos, sólo los diferenciaba el haber ocurrido en fechas diferentes y que yo me hubiera acordado de que todo era una repetición.

La reflexión surge de modo evidente: ¿qué hay de libre albedrío en mi elección? Alguien que me conociera perfectamente podría haber predicho los descartes y sus respectivas razones, así como la película seleccionada. ¿He elegido libremente?

Mi idea es que no. Los seres humanos operamos por razones, por motivaciones, por causas que determinan nuestra acción. Yo escogí mi película en base a mi experiencia pasada eligiendo películas. Es más, repliqué exactamente mi experiencia pasada, el archivo que hay en mi memoria para elegir películas para la clase de los lunes con 3ºB. ¿No es esa siempre nuestra forma de actuar? ¿No estamos siempre aprendiendo y repitiendo? Vale pero, ¿dónde queda entonces la novedad de nuestras acciones? Stuart Hameroff lo explica muy bien en este texto (extraído de nuevo del libro de Blackmore):

Para hacer una analogía, imagina que has entrenado a un robot zombi para que cruce un lago en un velero, y en el otro hay tres embarcaderos, A, B o C, y el viento cambia constantemente. En este caso, el viento jugaría el papel de las influencias no computables, y los virajes y golpes de timón del velero serían los procesos algorítmicos deterministas para cuya ejecución se ha programado al robot zombi. Pero cada viraje estaría sometido a esa influencia no computable, de manera que el resultado – el puerto A, B o C en que atraca el velero – sería consecuencia de ambas influencias. Pienso que la experiencia de llevar a cabo este proceso determinista junto con esta influencia no computable es lo que llamamos libre albedrío. Por lo tanto, en ocasiones, hacemos cosas que son más o menos inesperadas incluso para nosotros mismos.

Creo que Hameroff se equivoca en varios puntos, si bien el planteamiento general es correcto. En primer lugar de lo que está hablando no es de libre albedrío sino de alatoriedad. Un proceso aleatorio (los golpes de viento) no tiene nada que ver con actos libres. Es como si dijéramos que cuando tiro un dado, éste elige libremente sacar una de sus seis caras. Y en segundo lugar, esa no computabilidad a la que se refiere tiene que ver con las fluctuaciones cuánticas de los microtúbulos de las neuronas, que según él y Penrose son las responsables de nuestra conciencia, teoría ésta, muy dudosa para la comunidad científica (sinceramente, no la entiendo).

Yo cambiaría la perspectiva afirmando que nuestra toma de decisiones es un sistema caótico en el sentido en que es muy sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales. Si mientras  estaba escogiendo mi película mi canario se hubiese puesto a cantar, es posible que esta pequeña interferencia hubiera hecho cambiar mi decisión. Algo insignificante, impredecible, cambia el resultado, por eso la conducta humana es tan difícil de pronosticar, pero de ahí a libertad de elección va un trecho. Así que la metáfora de que somos robots zombi me parece correcta: robots en el sentido determinista de nuestra elección, pero zombis en el sentido de caóticos, torpes, volubles, muchas veces impredecibles (nota: nada que ver con los zombis de Chalmers, de los que ya hablaré otro día).